Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

Siaφ = âΨ ɛL’operatore prodotto â + â agisce in modo particolare su φ:â + âφ = â + ââΨ ɛConsiderando i primi due operatori della sequenza:ââ + − â + â = ω ⇒ â + â = ââ + − ωsostituendo:â + âφ = â + ââΨ ɛ = (ââ + − ω)âΨ ɛ = â(â + âΨ ɛ − ωΨ ɛ )Il primo termine della somma fra parentesi, ricordando l’equazione 2.19, restituisceɛΨ. Dunque:â + âφ = â(ɛ − ω)Ψ ɛ = (ɛ − ω)âΨ ɛ = (ɛ − ω)φDunque la funzione φ è ancora autofunzione dell’operatore â + â, ma con autovalorediminuito di ω. Da questo viene il nome di operatore distruttore:l’operatore â diminuisce l’energia di un termine ω. Sia oraχ = â + Ψ ɛâ + âχ = â + ââ + Ψ ɛCon lo stesso procedimento eseguito sopra, questa volta sul secondo e sul terzotermine:â + âχ = â + ââ + Ψ ɛ = â + (â + â + ω)Ψ ɛ = â + (ɛ + ω)Ψ ɛ == (ɛ + ω)â + Ψ ɛ = (ɛ + ω)χDunque l’operatore di creazione aumenta l’energia di un termine ω. L’Hamiltonianodell’oscillatore armonico, però, è dato dalla somma di due operatoridefiniti positivi, quindi l’energia dovrà per forza essere maggiore o uguale a zero.Applicando a ripetizione l’operatore di distruzione, dunque, si arriverà auna funzione dotata di autovalore minimo; poiché non è possibile diminuirneulteriormente l’energia si avràâΨ ɛmin = 0 (2.20)Applicando ad entrambi i membri anche l’operatore di creazione:â + âΨ ɛmin = ɛ min Ψ ɛmin = 0Ne segue cheE min = ɛ min + 1 2 ω = 1 2 ωApplicando alla funzione di energia minima l’operatore di creazione si otterràun autostato di energia 3 2ω e così via; si può quindi concludere che - detto v ilnumero quantico vibrazionale:E v = (v + 1 2 )ω 32