THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 2
être une suite indépendante et identiquement distribuée (i.e. iid), et nous parlons de
modèles VARMA faibles quand les hypothèses sur le bruit sont moins restrictives. Nous
parlons également de modèle semi-fort quand le bruit est supposé être une différence de
martingale. Plusieurs formulations VARMA ont été introduites pour décrire différents
types de séries temporelles multivariées. L’une des formulations les plus générales et les
plus simples est le modèle VARMA structurel sans tendance suivant
p0
A00Xt −
i=1
A0iXt−i = B00ǫt −
q0
B0iǫt−j, ∀t ∈ Z (1.1)
où Xt = (X1 t,...,Xd t) ′ (on notera par la suite X = (Xt)) est un processus vectoriel
stationnaire au second ordre de dimension d, à valeurs réelles. Les paramètres A0i,
i ∈ {1,...,p0} et B0j, j ∈ {1,...,q0} sont des matrices d × d, et p0 et q0 sont des
entiers appelés ordres. Le terme d’erreur ǫt = (ǫ1 t,...,ǫd t) ′ est un bruit blanc, c’est-àdire
une suite de variables aléatoires centrées (Eǫt = 0), non corrélées, avec une matrice
de covariance non singulière Σ0.
La représentation (1.1) est dite réduite lorsque l’on suppose A00 = B00 = Id, et
structurelle dans le cas contraire. Les modèles structurels permettent d’étudier des
relations économiques instantanées. Les formes réduites sont plus pratiques d’un point
de vue statistique, car elles donnent les prévisions de chaque composante en fonction
des valeurs passées de l’ensemble des composantes.
Afin de donner une définition précise d’un modèle linéaire et non linéaire d’un processus,
commençons par rappeler la décomposition de Wold (1938) qui affirme que si
(Zt) est un processus stationnaire, purement non déterministe, il peut être représenté
comme une moyenne mobile infinie (i.e. MA(∞)) (voir Brockwell et Davis, 1991, pour
le cas univarié). Les arguments utilisés s’étendent directement au cas multivarié (voir
Reinsel, 1997). Ainsi tout processus X = (Xt) de dimension d vérifiant les conditions
ci-dessus admet une représentation MA(∞) vectorielle
Xt =
j=1
∞
Ψℓǫt−ℓ, (1.2)
ℓ=0
où ∞
ℓ=0 Ψℓ 2 < ∞. Le processus (ǫt) est l’innovation linéaire du processus X. Nous
parlons de modèles linéaires lorsque le processus d’innovation (ǫt) est iid et de modèles
non linéaires dans le cas contraire. Dans le cadre univarié Francq, Roy et Zakoïan (2005),
Francq et Zakoïan (1998) ont montré qu’il existe des processus très variés admettant,
à la fois, des représentations non linéaires et linéaires de type ARMA, pourvu que les
hypothèses sur le bruit du modèle ARMA soient suffisamment peu restrictives. Relâcher
cette hypothèse permet aux modèles VARMA faibles de couvrir une large classe de
processus non linéaires.