THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 47
ceux-ci. L’exemple le plus simple de processus stationnaire multivarié est le bruit blanc,
défini comme une suite de variables centrées et non corrélées, de matrice de variance
indépendante du temps.
Définition 1.8. Le processus vectoriel (ǫt) est appelé bruit blanc faible s’il vérifie
(i) Eǫt = 0 ∀ t ∈ Z,
(ii) Eǫtǫ ′ t
= Σ ∀ t ∈ Z,
(iii) Cov(ǫt,ǫt+h) = 0 ∀ h,t ∈ Z, h = 0,
où Σ, est une matrice d×d de variance-covariance non singulière.
Remarque 1.13. Il est important de noter qu’aucune hypothèse d’indépendance n’est
faite dans la définition du bruit blanc faible . Les variables aux différentes dates sont
seulement non corrélées. Il est parfois nécessaire de remplacer l’hypothèse (iii) par l’hypothèse
plus forte
– (iii’) les variables ǫt sont des différences de martingale.
On parle alors de bruit blanc semi-fort.
Il est parfois nécessaire de remplacer l’hypothèse (iii) par une hypothèse encore plus
forte
– (iii") les variables ǫt et ǫt−h sont indépendantes.
On parle alors de bruit blanc fort.
1.5.2 Ergodicité
On dit qu’une suite vectoriel stationnaire est ergodique si elle satisfait la loi forte
des grands nombres.
Définition 1.9. Un processus vectoriel strictement stationnaire (Xt) t∈Z , à valeurs dans
R d , est dit ergodique si et seulement si, pour tout borélien B de R d(h−1) et tout entier
h,
1
n
n
t=1
avec probabilité 1.
IB
′
X t ,X ′ t+1 ...,X′
′ X
′
t+h → P 1 ,...,X ′
′
1+h ∈ B
Certaines transformations de suites ergodiques restent ergodiques.
Théorème 1.11. Si (Xt) t∈Z est un processus vectoriel strictement stationnaire ergodique
de dimension d et si (Yt) t∈Z est défini par
Yt = f ...,X ′ t−1 ,X′ t ,X′ t+1 ,... ,