THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Chapitre 1. Introduction 4 par Hannan et Rissanen (1982) dans un cadre semi-fort. En analyse multivariée, des progrès importants ont été réalisés par Dufour et Pelletier (2005) qui ont proposé une généralisation de la méthode d’estimation basée sur la régression introduite par Hannan et Rissanen (1982) et étudié les propriétés asymptotiques de cet estimateur. Ils ont également proposé un critère d’information modifié convergent pour la sélection des modèles VARMA faibles logdet ˜ Σ+dim(γ) (logn)1+δ , δ > 0, n qui est aussi une extension de celui Hannan et Rissanen (1982). Par ailleurs, Francq et Raïssi (2007) ont étudié des tests portmanteau d’adéquation de modèles VAR faibles. 1.0.2 Représentations VARMA faibles de processus non linéaires Cette thèse se situe dans la continuité des travaux de recherche cités précédemment. Parmi la grande diversité des modèles stochastiques de séries temporelles à temps discret, on distingue, et on oppose parfois, les modèles linéaires et les modèles non linéaires. En réalité ces deux classes de modèles ne sont pas incompatibles et peuvent même être complémentaires. Les fervents partisans des modèles non linéaires, ou de la prévision non paramétrique, reprochent souvent aux modèles linéaires ARMA (AutoRegressive Moving Average) d’être trop restrictifs, de ne convenir qu’à un petit nombre de séries. Ceci est surtout vrai si on suppose, comme on le fait habituellement, des hypothèses fortes sur le bruit qui intervient dans l’écriture ARMA. Des processus très variés admettent, à la fois, des représentations non linéaires et linéaires de type ARMA, pourvu que les hypothèses sur le bruit du modèle ARMA soient suffisamment peu restrictives. On parle alors de modèles ARMA faibles. L’étude des modèles ARMA faibles a des conséquences importantes pour l’analyse des séries économiques, pour lesquelles de nombreux travaux ont montrés que les modèles ARMA standard sont mal adaptés. Interprétations des représentations linéaires faibles Si dans (1.1), ǫ = (ǫt) est un bruit blanc fort, 2 à savoir une suite de variables iid, alors on dit que X = (Xt) est un modèle VARMA(p0,q0) structurel fort. Si l’on suppose que ǫ est une différence de martingale, 3 alors on dit que X admet une représentation 2. Voir Remarque 1.13 de l’annexe pour la définition. 3. Voir Définition 1.11 de l’annexe.
Chapitre 1. Introduction 5 VARMA(p0,q0) structurelle semi-forte. Et si on suppose simplement que ǫ est un bruit blanc faible, 4 mais qu’il n’est pas forcément iid, ni même une différence de martingale, on dit que X admet une représentation VARMA(p0,q0) structurelle faible. Ainsi la distinction entre modèle VARMA(p0,q0) structurel fort, semi-fort ou faible n’est donc qu’une question d’hypothèse sur le bruit. En plus, du fait que la contrainte sur ǫ est moins forte pour un modèle structurel faible que pour un modèle structurel semi-fort ou fort, il est clair que la classe des modèles VARMA(p0,q0) structurels faibles est la plus large. Nous en déduisons la relation suivante {VARMA forts} ⊂ {VARMA semi-forts} ⊂ {VARMA faibles}. Soit HX(t−1) l’espace de Hilbert engendré par les variables aléatoires Xt−1,Xt−2,.... Cet espace contient les combinaisons linéaires de la forme m i=1CiXt−i et leurs limites en moyenne quadratique. Notons FX(t−1) la tribu engendrée par Xt−1,Xt−2,.... Nous appellerons HX(t−1) le passé linéaire de Xt et FX(t−1) sera appelé le passé de Xt. Il est parfois pratique d’écrire l’équation (1.1) sous la forme compacte A(L)Xt = B(L)ǫt où L est l’opérateur retard (i.e. Xt−1 = LXt, ǫt−k = Lkǫt pour tout t,k ∈ Z), A(z) = A0 − p0 i=1Aizi est le polynôme VAR et B(z) = B0 − q0 j=1Bjz j est le polynôme MA vectoriel. Notons par det(·), le déterminant d’une matrice carrée. Pour l’étude des séries chronologiques, la notion de stationnarité faible 5 conduit à imposer des contraintes sur les racines des polynômes VAR et MA vectoriel. Si les racines de detA(z) = 0 sont à l’extérieur du disque unité, alors Xt est une combinaison linéaire de ǫt,ǫt−1,... (cette combinaison est une solution non anticipative ou causale de (1.1)). Si les racines de detB(z) = 0 sont à l’extérieur du disque unité, alors ǫt peut s’écrire comme une combinaison linéaire de Xt,Xt−1,... (l’équation (1.1) est dite inversible). Les deux hypothèses précédentes sur les polynômes VAR et MA vectoriel seront regroupées dans l’hypothèse suivante H1 : detA(z)detB(z) = 0 ⇒ |z| > 1. Sous l’hypothèse H1, le passé (linéaire) de X coïncide donc avec le passé (linéaire) de ǫ : FX(t−1) = Fǫ(t−1), HX(t−1) = Hǫ(t−1). Si en plus, ǫ est un bruit blanc faible, on en déduit que la meilleure prévision de Xt est une fonction linéaire du passé p q A00E{Xt|HX(t−1)} = B00E{ǫt|Hǫ(t−1)}+ A0iXt−i − B0iǫt−j, = 4. Voir Définition 1.8 de l’annexe. 5. Voir Définition 1.7 de l’annexe. p i=1 A0iXt−i − q j=1 i=1 B0iǫt−j. j=1
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