THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 31
La démonstration de ce théorème résulte des formules de dérivations matricielles
standard, de l’inégalité de covariance obtenue par Davydov (1968), du théorème de la
convergence de ˆ θn et du théorème 1.13 (TCL).
1.3.3 Comportement asymptotique des autocovariances et autocorrélations
résiduelles
Soit êt = ˜et( ˆ θn) les résidus du LSE quand p0 > 0 et q0 > 0, et soit êt = et = Xt
quand p0 = q0 = 0. Quand p0+q0 = 0, nous avons êt = 0 pour t ≤ 0 et t > n, et posons
p0
q0
êt = Xt −
i=1
A −1
0 (ˆ θn)Ai( ˆ θn) ˆ Xt−i +
i=1
A −1
0 (ˆ θn)Bi( ˆ θn)B −1
0 (ˆ θn)A0( ˆ θn)êt−i,
pour t = 1,...,n, avec ˆ Xt = 0 pour t ≤ 0 et ˆ Xt = Xt pour t ≥ 1. Définissons les
autocovariances résiduelles
ˆΓe(h) = 1
n
êtê
n
′ t−h pour 0 ≤ h < n.
t=h+1
Soit ˆ Σe0 = ˆ Γe(0) = n −1 n
t=1 êtê ′ t. Nous considérons des vecteurs des m (pour m ≥ 1)
premières autocovariances résiduelles
ˆΓm =
Soit les matrices diagonales
vecˆ ′
Γe(1) ,..., vecˆ
′
′
Γe(m) .
Se = Diag(σe(1),...,σe(d)) et ˆ Se = Diag(ˆσe(1),...,ˆσe(d)),
oùσ2 e (i) est la variance de la i-ème coordonnée de l’innovation et et ˆσ 2 e (i) est son estimateur,
avecσe(i) = Ee2 it et ˆσe(i) = n−1n t=1ê2it . Nous définissons les autocorrélations
théoriques et résiduelles de retard ℓ
avec Γe(ℓ) := Eete ′ t−ℓ
Re(ℓ) = S −1
e Γe(ℓ)S −1
e et ˆ Re(ℓ) = ˆ S −1
e ˆ Γe(ℓ) ˆ S −1
e ,
= 0, ∀ℓ = 0. Nous définissons aussi la matrice
⎧⎛
⎞
⎪⎨ et−1
⎜ ⎟
Φm = E ⎝
⎪⎩
. ⎠⊗ ∂et(θ0)
∂θ ′
⎫
⎪⎬
. (1.11)
⎪⎭
et−m
Nous considérons des vecteurs des m (pour m ≥ 1) premières autocorrélations résiduelles
ˆρm = vecˆ ′
Re(1) ,..., vecˆ
′
′
Re(m) .