THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 27
Théorème 1.5. (Convergence forte de ˆ Jn) Sous les hypothèses de la proposition
1.3, nous avons
ˆJn → J p.s quand n → ∞.
La démonstration de ce théorème repose sur une série de trois lemmes, dans lesquels
nous montrons les convergences presque sûres de ˆ λi, de ˆ Mn et de ˆ Σ −1
e0 .
Dans le cas de modèles VARMA forts standard ˆ Ω = 2 ˆ J −1 est un estimateur fortement
consistant de Ω. Dans le cadre général de modèles VARMA faibles, cet estimateur
n’est pas consistant dès que I = 2J. Dans ce cas, nous avons besoin d’un estimateur de
I. Cette matrice est délicate à estimer car son expression explicite fait intervenir une
infinité de moments d’ordre quatre
Γ(i,j) =
+∞
h=−∞
Mij,h.
Afin d’estimer cette matrice, nous utilisons une technique qui consiste à pondérer convenablement
certains moments empiriques (voir Andrews 1991, voir aussi Newey et West
1987). Cette pondération se fait au moyen d’une fonction de poids (ou fenêtre) et d’un
paramètre de troncature. Soit
Mn ij,h := 1
n
n−|h|
t=1
e ′ t−h ⊗ I d 2 (p0+q0) ⊗e ′ t−j−h
′
⊗ e t ⊗ Id2 (p0+q0) ⊗e ′
t−i .
Pour estimer Γ(i,j), nous considérons une suite de réels (bn)n∈N∗ telle que
bn → 0 et nb 10+4ν
ν
n → ∞ quand n → ∞, (1.9)
et une fonction de poids f : R → R bornée, à support compact [−a,a] et continue à
l’origine avec f(0) = 1. Notons que sous les hypothèses précédentes, nous avons
|f(hbn)| = O(1). (1.10)
Soit
ˆMn ij,h := 1
n
n−|h|
t=1
Nous considérons la matrice
bn
|h|