THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Chapitre 1. Introduction 38 est inférieur à(p0+q0+3)d 2 (i.e. le nombre de paramètres sans aucune contrainte). Sous les hypothèses H1–H6, nous avons établi dans le chapitre 2 la consistance ( ˆ θn → θ0 p.s quand n → ∞) et la normalité asymptotique du QMLE : √ n ˆθn L→ −1 −1 −θ0 N(0,Ω := J IJ ), (1.15) où J = J(θ0) et I = I(θ0), avec et 2 ∂ J(θ) = lim n→∞ n 2 ∂θ∂θ ′ logLn(θ) p.s I(θ) = lim Var n→∞ 2 √ n ∂ ∂θ logLn(θ). Dans le chapitre 3, sous les hypothèses H1–H7, nous avons obtenu des expressions explicites des matrices I11 et J11, données par vecI11 = 4 où la matrice +∞ i,j=1 vecJ11 = 2 i≥1 Γ(i,j) Id ⊗λ ′ j M := E M{λ ′ i ⊗λ ′ i}vecΣ −1 e0 et ⊗{Id ⊗λ ′ i } vec Id 2 (p0+q0) ⊗e ′ ⊗2 t , les matrices λi dépendent du paramètre θ0 et les matrices Γ(i,j) = +∞ h=−∞ ont déjà été définies. E e ′ t−h ⊗ I d 2 (p0+q0) ⊗e ′ t−j−h 1.4.2 Définition du critère d’information vecΣ −1 e0 −1 ′ vecΣe0 , ′ ⊗ e t ⊗ Id2 (p0+q0) ⊗e ′ t−i En statistique on est souvent confronté au problème de l’identification d’un modèle parmi m modèles, où les modèles candidats ont des paramètres θm de dimensions km. Le choix peut s’effectuer en estimant chaque modèle et en minimisant un critère de la forme mesure del’erreur d’ajustement + terme de pénalisation. On mesure souvent cette erreur d’ajustement par la somme des carrés des résidus, ou encore par −2 fois la log-quasi-vraisemblance i.e. −2log ˜ Ln( ˆ θm). Le terme de pénalisation est une fonction croissante de la dimension km du paramètre ˆ θm. Ce terme est
Chapitre 1. Introduction 39 indispensable car la mesure de l’erreur d’ajustement est systématiquement minimale pour le modèle qui possède le plus grand nombre de paramètres, lorsque ˆ θm minimise cette erreur d’ajustement et quand les modèles sont emboîtés. Le critère le plus connu est sans doute le AIC introduit par Akaike (1973) et défini de manière suivante AIC(modèle m estimé) = −2log ˜ Ln( ˆ θm)+dim( ˆ θm). Le critère AIC est fondé sur un estimateur de la divergence de Kullback-Leibler dont nous en parlerons ultérieurement. Tsai et Hurvich (1989, 1993) ont proposé une correction de biais du critère AIC pour des modèles de séries temporelles autorégressifs dans les cas univarié et multivarié sous les hypothèses que les innovations ǫt sont indépendantes et identiquement distribuées. 1.4.3 Contraste de Kullback-Leibler Soit les observations X = (X1,...,Xn) de loi à densité f0 inconnue par rapport à une mesure σ-finie µ. Considérons un modèle candidat m avec lequel les observations seraient à densité fm(·,θm), avec un paramètre θm de dimension km. L’écart entre le modèle candidat et le vrai modèle peut être mesuré par la divergence (ou information, ou entropie) de Kullback-Leibler où ∆{fm(·,θm)|f0} = Ef0 log d{fm(·,θm)|f0} = −2Ef0logfm(X,θm) = −2 f0(X) fm(X,θm) = Ef0 logf0(X)+ 1 2 d{fm(·,θm)|f0}, {logfm(x,θm)}f0(x)µ(dx) est souvent appelé le contraste de Kullback-Leibler (ou l’écart entre le modèle ajusté et le vrai modèle). Notons que ∆(f|f0) n’est pas symétrique en f et f0, et s’interprète comme la capacité moyenne d’une observation de loif0 à se distinguer d’une observation de loi f. On peut aussi interpréter ∆(f|f0) comme étant une perte d’information liée à l’utilisation du modèle f quand le vrai modèle est f0. En utilisant l’inégalité de Jensen, nous montrons que ∆{fm(·,θm)|f0} existe toujours dans [0,∞] : ∆{fm(·,θm)|f0} = − log fm(x,θm) f0(x)µ(dx) f0(x) fm(x,θm) ≥ −log f0(x)µ(dx) = 0, f0(x) avec égalité si et seulement si les lois de fm(·,θm) et f0 sont les mêmes i.e. fm(·,θm) = f0. Telle est la propriété principale de la divergence de Kullback-Leibler. Minimiser
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