THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 48
oùf est une fonction mesurable deR ∞ dansR ˜ d , alors(Yt) t∈Z est également un processus
vectoriel strictement stationnaire ergodique.
Théorème 1.12. Si (Xt) t∈Z est un processus vectoriel strictement stationnaire et
ergodique de dimension d, si f est une fonction mesurable de R ∞ dans R ˜ d et si
E f ...,X ′ t−1 ,X ′ t ,X′ t+1 ,... < ∞, alors
1
n
n
t=1
f ...,X ′ t−1 ,X′ t ,X′ t+1 ,... p.s
→ Ef ...,X ′ t−1 ,X ′ t ,X′ t+1 ,... .
1.5.3 Accroissement de martingale
Dans un jeu équitable de hasard pur (par exemple F et G jouent à pile ou face, F
donne un euro à G quand la pièce fait pile, G donne un euro à F quand la pièce fait
face), la fortune d’un joueur est une martingale.
Définition 1.10. Soit (Xt) t∈N est un processus vectoriel de variables aléatoires réelles
(v.a.r) et (Ft) t∈N une suite de tribus. La suite (Xt,Ft) t∈N est une martingale si et
seulement si
1. Ft ⊂ Ft+1,
2. Xt est Ft-mesurable,
3. EXt < ∞,
4. E(Xt+1|Ft) = Xt.
Quand on dit que (Xt) t∈N est une martingale, on prend implicitement Ft =
σ(Xu, u ≤ t), c’est-à-dire la tribu engendrée par les valeurs passées et présentes.
Définition 1.11. Soit (ηt) t∈N un processus vectoriel de v.a.r et (Ft) t∈N une suite de
tribus. La suite(ηt,Ft) t∈N est une différence de martingale (ou une suite d’accroissement
de martingale) si et seulement si
1. Ft ⊂ Ft+1,
2. ηt est Ft-mesurable,
3. Eηt < ∞,
4. E(ηt+1|Ft) = 0.
Remarque 1.14. Si la suite (Xt,Ft) t∈N est une martingale et si on pose η0 = X0,
ηt = Xt−Xt−1, alors la suite (ηt,Ft) t∈N est une différence de martingale : E(ηt+1|Ft) =
E(Xt+1|Ft)−E(Xt|Ft) = 0.