THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 41
Lemme 1.4. Pour tout θ ∈
p,q∈N Θp,q, nous avons
∆(θ) ≥ ∆(θ0).
Nous montrons ce lemme en utilisant le théorème 1.12 ergodique et l’inégalité élémentaire
Tr(A −1 B) − logdet(A −1 B) ≥ Tr(A −1 A) − logdet(A −1 A) = d pour toute
matrice symétrique semi-définie positive de taille d×d.
En vue de ce lemme, l’application θ ↦→ ∆(θ) est minimale en θ = θ0.
Estimation de la divergence moyenne
Soit X = (X1,...,Xn) les observations satisfaisant la représentation VARMA (1.1).
Posons ˆ θn le QMLE du paramètre θ du modèle VARMA candidat. Soit êt = ˜et( ˆ θn) les
résidus du QMLE/LSE quand p0 > 0 et q0 > 0, et soit êt = et = Xt quand p0 = q0 = 0.
Quand p+q = 0, nous avons êt = 0 pour t ≤ 0 et t > n, et posons
p0
êt = Xt −
i=1
A −1
0 ( ˆ θn)Ai( ˆ θn) ˆ Xt−i +
q0
i=1
A −1
0 ( ˆ θn)Bi( ˆ θn)B −1
0 ( ˆ θn)A0( ˆ θn)êt−i,
pour t = 1,...,n, avec ˆ Xt = 0 pour t ≤ 0 et ˆ Xt = Xt pour t ≥ 1. En vue du Lemme
1.4, il est naturel de minimiser le contraste moyen E∆( ˆ θn). L’écart {∆( ˆ θn) − ∆(θ0)}
s’interprète comme une perte de précision globale moyenne quand on utilise le modèle
estimé à la place du vrai modèle. Nous allons par la suite adapter le critère d’information
de Akaike corrigé (noté AICc) introduit par Hurvich et Tsai (1989) pour obtenir un
estimateur approximativement sans biais de E∆( ˆ θn). En utilisant un développement
limité de Taylor de ∂logLn( ˆ θn)/∂θ (1) au voisinage de θ (1)
0 , il s’en suit que
ˆθ (1)
n −θ(1)
1
op √n
0 = − 2
où J11 = J11(θ0) avec
Nous avons
n J−1 11
∂logLn(θ0)
∂θ (1)
= − 2
n
n
t=1
J −1
11
2 ∂
J11(θ) = lim
n→∞ n
2logLn(θ) ∂θ (1) ∂θ (1)′ p.s.
∂e ′ t(θ0)
Σ−1
∂θ (1) e0 et(θ0), (1.16)
E∆( ˆ θn) = Enlogdet ˆ
Σe +nETr ˆΣ −1
e S(ˆ
θn) , (1.17)
où ˆ Σe = Σe( ˆ θn) est un estimateur de la matrice de variance des erreurs, avec Σe(θ) =
n−1n t=1et(θ)e ′ t (θ). Ensuite, le premier
terme du second membre de l’équation (1.17)
peut être estimée sans biais par nlogdet n−1n t=1et( ˆ θn)e ′ t (ˆ
θn) . Par conséquent, nous