THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 12
si
P(L) = U(L)P1(L), Q(L) = U(L)Q1(L) =⇒ det{U(L)} = cste = 0,
on dit que P(L) et Q(L) sont coprimes à gauche (en anglais left-coprime). Divers types
de conditions peuvent être imposées pour assurer l’identifiabilité (voir Reinsel, 1997,
p. 37-40, ou Hannan (1971, 1976), Hannan et Deistler, 1988, section 2.7). Pour avoir
identifiabilité, il est parfois nécessaire d’introduire des formes plus contraintes, comme
par exemple la forme échelon. Pour des renseignements complémentaires sur les formes
identifiables, et en particulier la forme échelon, on peut par exemple se référer à Hannan
(1976), Hannan et Deistler (1976), Dufour J-M. et Pelletier D. (2005), Lütkepohl (1991,
p. 246-247 et 289-297, 2005, p. 452-453 et 498-507) et Reinsel (1997).
Définition de l’estimateur du QML
Pour des raisons pratiques, nous écrivons le modèle sous sa forme réduite
p0
Xt −
i=1
A −1
00 A0iXt−i = et −
q0
j=1
A −1 −1
00B0jB 00 A00et−j, et = A −1
00B00ǫt. On dispose d’une observation de longueur n,X1,...,Xn. Pour 0 < t ≤ n et pour tout
ϑ ∈ Θ, les variables aléatoires ˜et(ϑ) sont définies récursivement par
p0
˜et(ϑ) = Xt −
i=1
A −1
0 AiXt−i +
q0
j=1
A −1
0 BjB −1
0 A0˜et−j(ϑ),
où les valeurs initiales inconnues sont remplacées par zéro : ˜e0(ϑ) = ··· = ˜e1−q0(ϑ) =
X0 = ··· = X1−p0 = 0. Nous montrons que, comme dans le cas univarié, ces valeurs
initiales sont asymptotiquement négligeables et, en particulier, que ˜et(ϑ0) − et → 0
presque sûrement quand t → ∞. Ainsi, le choix des valeurs initiales est sans effet sur
les propriétés asymptotiques de l’estimateur. La quasi-vraisemblance gaussienne s’écrit
˜Ln(ϑ) =
n
t=1
1
(2π) d/2√ detΣe
exp − 1
2 ˜e′ t(ϑ)Σ −1
e ˜et(ϑ) ,
où Σe = Σe(ϑ) = A −1
0 B0ΣB ′ 0A −1′
0 . Un estimateur du QML de ϑ0 est défini comme toute
solution mesurable ˆ ϑn de
ˆϑn = argmax
ϑ∈Θ
˜Ln(ϑ) = argmin˜ℓn(ϑ),
ℓn(ϑ) ˜ =
ϑ∈Θ
−2
n log˜ Ln(ϑ).