THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 19
où λ est le vecteur multiplicateur de Lagrange de dimension s0. Les conditions de
premier ordre s’écrivent
∂ ˜ ℓn
∂ϑ (ˆ ϑ c n) = R ′ 0 ˆ λ, R0 ˆ ϑ c n = r0.
Notons a c = b pour signifier que a = b + c. En effectuant le développement limité de
Taylor sous H0, nous avons
Nous déduisons que
0 = √ n ∂˜ ℓn( ˆ ϑn)
∂ϑ
oP(1) √ ∂
= n ˜ ℓn( ˆ ϑc n )
∂ϑ −J√
n ˆϑn − ˆ ϑ c
n .
√
n(R0 ˆ √
ϑn −r0) = R0 n( ϑn
ˆ − ˆ ϑ c oP(1)
n ) = R0J −1√ n ∂˜ ℓn( ˆ ϑc n )
∂ϑ = R0J −1 R ′ √
0 nλ. ˆ
Il en résulte, que sous l’hypothèse H0 et les hypothèses précédentes la normalité asymptotique
du vecteur multiplicateur de Lagrange,
√ n ˆ λ L → N 0,(R0J −1 R ′ 0 )−1 R0ΩR ′ 0 (R0J −1 R ′ 0 )−1 , (1.5)
ainsi que la statistique du LM modifiée définie par
LMn = nˆ λ ′
(R0 ˆ J −1 R ′ 0) −1 R0 ˆ ΩR ′ 0(R0 ˆ J −1 R ′ 0) −1
−1ˆλ = n ∂˜ ℓn
∂ϑ ′(ˆ ϑ c n) ˆ J −1 R ′
0 R0 ˆ ΩR ′ −1 0 R0 ˆ J −1∂˜ ℓn
∂ϑ (ˆ ϑ c n).
Rappelons que dans le cas de modèles VARMA forts ˆ Ω = 2ˆ J−1 . Ce qui donne à la
statistique du LM une forme plus conventionnelle LM ∗
n = (n/2)ˆ λ ′ R0 ˆ J−1R ′ 0 ˆ λ. De la
convergence (1.5) du vecteur multiplicateur de Lagrange, nous avons la distribution
asymptotique de la statistique LMn qui suit une distribution χ2 s0 sous H0. Pour un
niveau de risque asymptotique α, l’hypothèse nulle est rejetée quand LMn > χ2 s0 (1−α).
Ceci reste valide dans le cas des modèles VARMA forts.
Remarque 1.4. Notons que pour calculer la statistique du LM, nous remplaçons ϑ0 par
son estimation ˆ ϑ c n (i.e. ˆ ϑn sous H0) dans l’expression de la variance asymptotique de
√ n ˆ λ. Par conséquent, le test du LM nécessite uniquement la maximisation de la quasivraisemblance
contrainte (i.e. la maximisation de la quasi-vraisemblance non contrainte
sous H0).
Statistique du LR
Ce test est fondé sur la comparaison des valeurs maximales de la log-quasivraisemblance
contrainte et non contrainte. L’hypothèse nulle est acceptée, si l’écart