THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Conclusion générale
Dans cette thèse nous avons étudié des modèles VARMA faibles dont les termes
d’erreur sont non corrélés mais non nécessairement indépendants. Ceci nous permet
d’englober de nombreux processus non linéaires existant dans la littérature pour lesquels
les hypothèses d’innovations iid ne sont plus valides.
Sous des hypothèses plus large (ergodicité et mélange), nous avons établi la convergence
forte et la normalité asymptotique des estimateurs du QML/LS. Nous avons
aussi estimé la matrice de variance asymptotique de ces estimateurs sous les mêmes
hypothèses. Nous avons notamment montré que le comportement asymptotique des estimateurs
peut être très différent du cas iid, si des dépendances existent entre les termes
d’erreurs.
Nous avons proposé des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur de
Lagrange et du rapport de vraisemblance pour tester des restrictions linéaires sur les
paramètres libres des modèles VARMA faibles. Nous avons également étudié la validité
du test LR dans le cas de modèles VARMA forts standard.
Ensuite, nous avons abordé le problème de la validation des modèles VARMA faibles
en proposant des tests portmanteau modifiés qui tiennent compte des dépendances des
termes d’erreur. Dans un premier temps, nous avons étudié la distribution asymptotique
jointe de l’estimateur du QML/LS et des autocovariances empiriques du bruit.
Ceci nous permet ensuite d’obtenir les distributions asymptotiques des autocovariances
et autocorrelations résiduelles, et aussi des statistiques portmanteau. Ces autocorrelations
résiduelles sont normalement distribuées avec une matrice de covariance différente
du cas iid. Dans ce cas il est aussi connu que la distribution asymptotique des tests
portmanteau est approximée par un chi-deux. Dans le cas général, nous avons montré
que cette distribution asymptotique est celle d’une somme pondérée de chi-deux. Cette
distribution peut être très différente de l’approximation chi-deux usuelle du cas fort.
Les tests portmanteau que nous avons proposé sont fondés sur une distribution exacte
de la statistique de test. Enfin, nous avons adapté aux modèles VARMA des méthodes
permettant d’obtenir des valeurs critiques de telle distribution.
Nous avons par ailleurs proposé un critère d’information de Akaike modifié pour
faciliter les sélections des modèles VARMA faibles.
Signalons que les logiciels actuellement disponibles n’évaluent pas correctement la