THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Chapitre 1. Introduction 18 ϑ0 du modèle (en particulier A0p = 0 ou B0q = 0). Afin de tester s0 contraintes linéaires sur les coefficients, nous définissons notre hypothèse nulle H0 : R0ϑ0 = r0, où R0 est une matrice s0 × k0 connue de rang s0 et r0 est aussi un vecteur connu de dimension s0. Pour effectuer ce test H0 : R0ϑ0 = r0, il existe diverses approches asymptotiques dont les plus classiques sont la procédure de Wald (notée W), celle du multiplicateur de Lagrange (en anglais LM) encore appelée du score ou de Rao-score et la méthode du rapport de vraisemblance (notée LR pour likelihood ratio). Pour calculer nos différentes statistiques de test, nous considérons la matrice ˆ Ω = ˆ J −1 Î ˆ J −1 , où ˆ J et Î sont des estimateurs consistants de J et I définis dans la section 1.1.2. Statistique de Wald Le principe est d’accepter l’hypothèse nulle, si l’estimateur non contraint ˆ ϑn de ϑ0 est suffisamment proche de zéro. Ainsi de la normalité asymptotique de ϑ0, nous en déduisons que √ n R0 ˆ L→ ϑn −r0 N 0,R0ΩR ′ −1 −1 0 := R0 J IJ R ′ 0 , quand n → ∞. Sous les hypothèses du théorème 1.3 et l’hypothèse que I est inversible, la statistique de Wald modifiée est Wn = n(R0 ˆ ϑn −r0) ′ (R0 ˆ ΩR ′ 0) −1 (R0 ˆ ϑn −r0). Sous H0, cette statistique suit une distribution de χ2 . Ainsi nous retrouvons la même s0 formulation que dans le cas fort standard. Nous rejetons H0 quand Wn > χ2 (1 −α) s0 pour un niveau de risque asymptotique α. Remarque 1.3. Notons que le test de Wald nécessite la maximisation de la quasivraisemblance non contrainte, mais pas la maximisation de la quasi-vraisemblance contrainte. Statistique du LM L’idée de ce test consiste à accepter l’hypothèse nulle, si le score contraint est proche de zéro. Soit ˆ ϑ c n le QMLE contraint sous H0. Définissons le Lagrangien L(ϑ,λ) = ˜ ℓn(ϑ)−λ ′ (R0ϑ−r0),
Chapitre 1. Introduction 19 où λ est le vecteur multiplicateur de Lagrange de dimension s0. Les conditions de premier ordre s’écrivent ∂ ˜ ℓn ∂ϑ (ˆ ϑ c n) = R ′ 0 ˆ λ, R0 ˆ ϑ c n = r0. Notons a c = b pour signifier que a = b + c. En effectuant le développement limité de Taylor sous H0, nous avons Nous déduisons que 0 = √ n ∂˜ ℓn( ˆ ϑn) ∂ϑ oP(1) √ ∂ = n ˜ ℓn( ˆ ϑc n ) ∂ϑ −J√ n ˆϑn − ˆ ϑ c n . √ n(R0 ˆ √ ϑn −r0) = R0 n( ϑn ˆ − ˆ ϑ c oP(1) n ) = R0J −1√ n ∂˜ ℓn( ˆ ϑc n ) ∂ϑ = R0J −1 R ′ √ 0 nλ. ˆ Il en résulte, que sous l’hypothèse H0 et les hypothèses précédentes la normalité asymptotique du vecteur multiplicateur de Lagrange, √ n ˆ λ L → N 0,(R0J −1 R ′ 0 )−1 R0ΩR ′ 0 (R0J −1 R ′ 0 )−1 , (1.5) ainsi que la statistique du LM modifiée définie par LMn = nˆ λ ′ (R0 ˆ J −1 R ′ 0) −1 R0 ˆ ΩR ′ 0(R0 ˆ J −1 R ′ 0) −1 −1ˆλ = n ∂˜ ℓn ∂ϑ ′(ˆ ϑ c n) ˆ J −1 R ′ 0 R0 ˆ ΩR ′ −1 0 R0 ˆ J −1∂˜ ℓn ∂ϑ (ˆ ϑ c n). Rappelons que dans le cas de modèles VARMA forts ˆ Ω = 2ˆ J−1 . Ce qui donne à la statistique du LM une forme plus conventionnelle LM ∗ n = (n/2)ˆ λ ′ R0 ˆ J−1R ′ 0 ˆ λ. De la convergence (1.5) du vecteur multiplicateur de Lagrange, nous avons la distribution asymptotique de la statistique LMn qui suit une distribution χ2 s0 sous H0. Pour un niveau de risque asymptotique α, l’hypothèse nulle est rejetée quand LMn > χ2 s0 (1−α). Ceci reste valide dans le cas des modèles VARMA forts. Remarque 1.4. Notons que pour calculer la statistique du LM, nous remplaçons ϑ0 par son estimation ˆ ϑ c n (i.e. ˆ ϑn sous H0) dans l’expression de la variance asymptotique de √ n ˆ λ. Par conséquent, le test du LM nécessite uniquement la maximisation de la quasivraisemblance contrainte (i.e. la maximisation de la quasi-vraisemblance non contrainte sous H0). Statistique du LR Ce test est fondé sur la comparaison des valeurs maximales de la log-quasivraisemblance contrainte et non contrainte. L’hypothèse nulle est acceptée, si l’écart
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