THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 40
∆{fm(·,θm)|f0} revient à minimiser le contraste de Kullback-Leibler d{fm(·,θm)|f0}.
Soit
θ0,m = arginfd{fm(·,θm)|f0}
= arginf−2Elogfm(X,θm)
θm
θm
le paramètre optimal du modèle m (nous supposons qu’un tel paramètre θ0,m existe).
Nous estimons ce paramètre par le QMLE ˆ θn,m.
1.4.4 Critère de sélection des ordres d’un modèle VARMA
Soit
˜ℓn(θ) = − 2
n log˜ Ln(θ)
= 1
n
dlog(2π)+logdetΣe + ˜e
n
′ t(θ)Σ −1
e ˜et(θ) .
t=1
Dans le lemme 7 de l’annexe du chapitre 2, nous avons montré que ℓn(θ) = ˜ ℓn(θ)+o(1)
p.s, où
et où
ℓn(θ) = − 2
n logLn(θ)
= 1
n
dlog(2π)+logdetΣe +e
n
′ t (θ)Σ−1 e et(θ) ,
t=1
et(θ) = A −1
0 B0B −1
θ (L)Aθ(L)Xt.
Nous avons aussi montré uniformément en θ ∈ Θ que
∂ℓn(θ)
∂θ = ∂˜ ℓn(θ)
+o(1) p.s,
∂θ
dans le lemme 9 de l’annexe du même chapitre. Notons que les mêmes égalités sont
aussi vérifiées pour les dérivées secondes de ˜ ℓn. Pour tout θ ∈ Θ, nous avons
n
−2logLn(θ) = ndlog(2π)+nlogdetΣe +
t=1
e ′ t (θ)Σ−1
e et(θ).
Dans la partie précédente consacrée au contraste de Kullback-Leibler, nous avons vu que
minimiser l’information de Kullback-Leibler pour tout modèle candidat caractérisé par
le paramètre θ, revient à minimiser le contraste ∆(θ) = E{−2logLn(θ)}. En omettant
la constante ndlog(2π), nous trouvons que
∆(θ) = nlogdetΣe +nTr Σ −1
e S(θ) ,
où S(θ) = Ee1(θ)e ′ 1 (θ). Nous énonçons le lemme suivant.