THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Chapitre 1. Introduction 14 pour un réel ν > 0, qui est légèrement plus forte que l’hypothèse d’existence de moments d’ordre 4 qui est faite dans le cas standard. Étant donné l’hypothèse H1 sur les racines des polynômes, il est clair que les hypothèses de moment Eǫt 4+2ν < ∞ et EXt 4+2ν < ∞ sont équivalentes. Par contre, les hypothèses de mélanges ne sont pas équivalentes. Nous définissons la matrice des coefficients de la forme réduite du modèle par Mϑ0 = [A −1 00 A01 : ··· : A −1 00A0p : A −1 −1 00B01B 00 A00 : ··· : A −1 00 −1 B0qB00 A00 : Σe0]. Ainsi nous avons besoin d’une hypothèse qui spécifie comment cette matrice dépend du Mϑ0 la matrice ∂vec(Mϑ)/∂ϑ ′ appliquée en ϑ0. H6 : La matrice Mϑ0 est de plein rang k0. paramètre ϑ0. Soit Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant qui nous donne le comportement asymptotique de l’estimateur du QML. Théorème 1.2. (Normalité asymptotique) Sous les hypothèses du Théorème 1.1, H4, H5 et H6, nous avons √ n ˆϑn L→ −1 −1 −ϑ0 N(0,Ω := J IJ ), où J = J(ϑ0) et I = I(ϑ0), avec J(ϑ) = lim n→∞ ∂ 2 ∂ϑ∂ϑ ′˜ ℓn(ϑ) p.s., I(ϑ) = lim n→∞ Var ∂ ∂ϑ ˜ ℓn(ϑ). La démonstration de ce théorème repose sur le théorème 1.13 7 de Herrndorf (1984), le théorème 1.1 et l’inégalité 8 de Markov (1968) pour les processus mélangeants. Remarque 1.1. Dans le cas standard de modèles VARMA forts, i.e. quand l’hypothèse H3 est remplacée par celle que les termes d’erreur (ǫt) sont iid, nous avons I = 2J, ainsi Ω = 2J −1 . Par contre dans le cas général, nous avons I = 2J. Comme conséquence, les logiciels utilisés pour ajuster les modèles VARMA forts ne fournissent pas une estimation correcte de la matrice Ω pour le cas de processus VARMA faibles. C’est aussi le même problème dans le cas univarié (voir Francq et Zakoïan (2007), et d’autres références ). Notons que, pour les modèles VARMA sous la forme réduite, il n’est pas restrictif de supposer que les coefficients A0,...,Ap0,B0,...,Bq0 sont fonctionnellement indépendants du coefficient Σe. Ceci nous permet de faire l’hypothèse suivante 7. Voir TCL pour processus α-mélangeant en annexe 8. Voir inégalité de covariance en annexe
Chapitre 1. Introduction 15 H7 : Posons ϑ = (ϑ (1)′ ,ϑ (2)′ ) ′ , où ϑ (1) ∈ Rk1 dépend des coefficients A0,...,Ap0 et B0,...,Bq0, et où ϑ (2) = DvecΣe ∈ Rk2 dépend uniquement de Σe, pour une matrice D de taille k2 ×d2 , avec k1 +k2 = k0. Par abus de notation, nous écrivons et(ϑ) = et(ϑ (1) ). Le produit de Kronecker de deux matrices A et B est noté par A⊗B (noté dans la suite A⊗2 quand A = B). Le théorème suivant montre que pour des modèles VARMA sous la forme réduite, les estimateurs du QML et du LS coincident. Théorème 1.3. Sous les hypothèses du Théorème 1.2 et H7, le QMLE ˆ ϑn = ( ˆ ϑ (1)′ n , ˆ ϑ (2)′ n ) ′ peut être obtenu par et De plus, nous avons J = J11 0 0 J22 ˆϑ (2) n = Dvec ˆ Σe, ˆ Σe = 1 n et J22 = D(Σ −1 e0 ⊗Σ −1 e0 )D ′ . ˆϑ (1) n = argmin ϑ (1) det , avec J11 = 2E n t=1 ˜et( ˆ ϑ (1) n )˜e ′ t( ˆ ϑ (1) n ), n ˜et(ϑ (1) )˜e ′ t(ϑ (1) ). t=1 ∂ ∂ϑ (1)e′ t (ϑ(1) 0 ) Σ −1 ∂ (1) e0 ∂ϑ (1)′et(ϑ 0 ) Remarque 1.2. Notons que la matrice J a la même expression dans les cas de modèles ARMA fort et faible (voir Lütkepohl (2005) page 480). Contrairement, à la matrice I qui est en général plus compliquée dans le cas faible que dans le cas fort. 1.1.2 Estimation de la matrice de variance asymptotique Afin d’obtenir des intervalles de confiance ou de tester la significativité des coefficients VARMA faibles, il sera nécessaire de disposer d’un estimateur au moins faiblement consistant de la matrice de variance asymptotique Ω. Estimation de la matrice J La matrice J peut facilement être estimée par ˆJ11 ˆJ 0 = 0 J22 ˆ , J22 ˆ = D( ˆ Σ −1 e0 ⊗ ˆ Σ −1 e0 )D′ et
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