THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Remerciements Tout d’abord je tiens à remercier chaleureusement Messieurs les Professeurs Christian Francq et Jean-Michel Zakoïan d’avoir accepté d’encadrer mon travail de recherche avec compétence et enthousiasme. Leurs qualités scientifiques et humaines, leurs suivis attentifs à tous les stades d’élaboration de cette thèse, leurs disponibilités à chaque fois que j’en avais eu recours, leurs soutiens et surtout leurs conseils très précieux qu’ils ont eu à me prodiguer m’ont permis de mener à bien cette thèse. Je tiens aussi à leurs exprimer ma profonde gratitude. Je tiens à remercier Monsieur le Professeur Sébastien Laurent et Madame la Professeure Anne Philippe de l’honneur qu’ils me font d’avoir accepté d’être les rapporteurs de cette thèse et pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail. Je remercie également Messieurs les Professeurs Michel Carbon et Cristian Preda d’avoir accepté de siéger à ce jury. Je tiens tout particulièrement à remercier chaleureusement Madame la Professeure Laurence Broze d’avoir accepté d’être la présidente du jury de soutenance et pour tout le soutien qu’elle nous (mon épouse et moi) a apporté depuis mon master 2. Un grand merci également à tous les membres du laboratoire EQUIPPE-GREMARS qui m’ont permis d’effectuer cette thèse dans une ambiance vraiment sereine et pour leur accueil très chaleureux. Je remercie vivement Madame Christiane Francq pour sa lecture très attentive de la partie en français de cette thèse. Je voudrais aussi adresser un grand merci à mes parents, à toute ma famille et à mes amis qui m’ont toujours soutenu moralement et matériellement pour poursuivre mes études jusqu’à ce niveau. Je dédie ce travail à mon père décédé en juillet 2008, ma mère, mon fils et toute ma famille. Enfin, je voudrais dire merci à tous ceux, famille ou amis, qui m’entourent et à l’ensemble des personnes présentes à cette soutenance.
Résumé Dans cette thèse nous élargissons le champ d’application des modèles ARMA (Auto- Regressive Moving-Average) vectoriels en considérant des termes d’erreur non corrélés mais qui peuvent contenir des dépendances non linéaires. Ces modèles sont appelés des ARMA faibles vectoriels et permettent de traiter des processus qui peuvent avoir des dynamiques non linéaires très générales. Par opposition, nous appelons ARMA forts les modèles utilisés habituellement dans la littérature dans lesquels le terme d’erreur est supposé être un bruit iid. Les modèles ARMA faibles étant en particulier denses dans l’ensemble des processus stationnaires réguliers, ils sont bien plus généraux que les modèles ARMA forts. Le problème qui nous préoccupera sera l’analyse statistique des modèles ARMA faibles vectoriels. Plus précisément, nous étudions les problèmes d’estimation et de validation. Dans un premier temps, nous étudions les propriétés asymptotiques de l’estimateur du quasi-maximum de vraisemblance et de l’estimateur des moindres carrés. La matrice de variance asymptotique de ces estimateurs est de la forme "sandwich" Ω := J −1 IJ −1 , et peut être très différente de la variance asymptotique Ω := 2J −1 obtenue dans le cas fort. Ensuite, nous accordons une attention particulière aux problèmes de validation. Dans un premier temps, en proposant des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur de Lagrange et du rapport de vraisemblance pour tester des restrictions linéaires sur les paramètres de modèles ARMA faibles vectoriels. En second, nous nous intéressons aux tests fondés sur les résidus, qui ont pour objet de vérifier que les résidus des modèles estimés sont bien des estimations de bruits blancs. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux tests portmanteau, aussi appelés tests d’autocorrélation. Nous montrons que la distribution asymptotique des autocorrelations résiduelles est normalement distribuée avec une matrice de covariance différente du cas fort (c’est-à-dire sous les hypothèses iid sur le bruit). Nous en déduisons le comportement asymptotique des statistiques portmanteau. Dans le cadre standard d’un ARMA fort, il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un chi-deux. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d’une somme pondérée de chideux. Cette distribution peut être très différente de l’approximation chi-deux usuelle du cas fort. Nous proposons donc des tests portmanteau modifiés pour tester l’adéquation de modèles ARMA faibles vectoriels. Enfin, nous nous sommes intéressés aux choix des modèles ARMA faibles vectoriels fondé sur la minimisation d’un critère d’information,
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