THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Chapitre 1. Introduction 8 qu’on obtient l’agrégation temporelle (voir Drost et Nijman (1993) pour le cas univarié de processus GARCH, Nijman et Enrique (1994) pour une extension au cas multivarié). Exemples de processus ARMA forts vectoriels admettant une représentation faible Certaines transformations de processus VARMA forts, comme par exemple des agrégations temporelles, des échantillonnages ou encore des transformations linéaires plus générales, admettent des représentations VARMA faibles. Les exemples suivants illustrent le cas où l’on considère des sous vecteurs du processus observé. Exemple 1.1. Soit un processus (Xt) de dimension d = d1+d2 qui satisfait un modèle VARMA(1,1) fort de la forme X1t X2t = − 0d1×d1 A12 A21 A22 0d1×d1 0d1×d2 B21 0d2×d2 X1t−1 X2t−1 ǫ1t−1 ǫ2t−1 où X1t,ǫ1t (resp. X2t,ǫ2t) sont des vecteurs de dimension d1 (resp. d2) et les matrices A12,A21,A22 et B21 sont de tailles appropriées. Si l’on suppose que ǫt = (ǫ ′ 1t ,ǫ′ 2t )′ est un bruit blanc fort de matrice variance-covariance Ωǫ = alors X2t satisfait le modèle VAR(2) suivant Ω11 0d1×d2 0d2×d1 Ω22 X2t = A22X2t−1 +A21A12X2t−2 +νt, où νt = ǫ2t + (A21 − B21)ǫ1 t−1 est non corrélé. Cependant dès que l’on suppose qu’il existe une dépendance entre ǫ2t et ǫ1t, et que A21 = B21, le processus (νt) n’est plus un bruit blanc fort. Contribution de la thèse L’objectif principal de la thèse est d’étudier dans quelle mesure les travaux cités précédemment sur l’analyse statistique des modèles ARMA peuvent s’étendre au cas multivarié faible. En particulier, nous étudions de quelle manière il convient d’adapter , + , ǫ1 t ǫ2 t
Chapitre 1. Introduction 9 les outils statistiques standard pour l’estimation et l’inférence des modèles VARMA faibles. Le deuxième chapitre est consacré à établir les propriétés asymptotiques des estimateurs du quasi-maximum de vraisemblance (en anglais QMLE) et des moindres carrés (noté LSE pour Least Squares Estimator), afin de les comparer à celles du cas standard. Ensuite, nous accordons une attention particulière à l’estimation de la matrice de variance asymptotique de ces estimateurs. Cette matrice est de la forme "sandwich" Ω := J −1 IJ −1 , et peut être très différente de la variance asymptotique standard, dont la forme est Ω := 2J −1 . Enfin des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur de Lagrange et du rapport de vraisemblance sont proposées pour tester des restrictions linéaires sur les paramètres libres du modèle. Dans le troisième chapitre, nous considérons de façon plus détaillée le problème de l’estimation de la matrice de variance asymptotique Ω des estimateurs QML/LS d’un modèle VARMA sans faire l’hypothèse d’indépendance habituelle sur le bruit. Dans un premier temps, nous proposons une expression des dérivées des résidus en fonction des paramètres du modèle VARMA. Ceci nous permettra ensuite de donner une expression explicite des matrices I et J impliquées dans la variance asymptotique Ω, en fonction des paramètres des polynômes VAR et MA, et des moments d’ordre deux et quatre du bruit. Enfin nous en déduisons un estimateur deΩ, dont nous établissons la convergence. Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons au problème de la validation des modèles VARMA faibles. Dans un premier temps, nous étudions la distribution asymptotique jointe de l’estimateur du QML et des autocovariances empiriques du bruit. Ceci nous permet d’obtenir les distributions asymptotiques des autocovariances et autocorrélations résiduelles. Ces autocorrélations résiduelles sont normalement distribuées avec une matrice de covariance différente du cas iid. Enfin, nous déduisons le comportement asymptotique des statistiques portmanteau. Dans le cadre standard (c’est-à-dire sous les hypothèses iid sur le bruit), il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est approximée par un chi-deux. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d’une somme pondérée de chi-deux. Cette distribution peut être très différente de l’approximation chi-deux usuelle du cas fort. Nous en déduisons des tests portmanteau modifiés pour tester l’adéquation de modèles VARMA faibles. Le cinquième chapitre est consacré au problème très important de sélection de modèles en séries chronologiques. Depuis des années, ce champ de recherche suscite un intérêt croissant au sein de la communauté des économètres et des statisticiens. En attestent les nombreuses publications scientifiques dans ce domaine et les différents
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