THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 43
En utilisant des propriétés élémentaires sur la trace d’une matrice, nous avons
Tr Σ −1
e (θ)D θ (1)
n = Tr Σ −1
∂et(θ0)
e (θ)E
∂θ (1)′ (θ (1) −θ (1)
0 )(θ (1) −θ (1)
0 ) ′∂e′ t (θ0)
∂θ (1)
′ ∂e
= E Tr
t(θ0)
Σ−1
∂θ (1) e (θ)∂et(θ0)
∂θ (1)′ (θ (1) −θ (1)
0 ) ′ (θ (1) −θ (1)
0 )
′ ∂e t (θ0)
= Tr E
(θ (1) −θ (1)
0 )′ (θ (1) −θ (1)
0 )
.
Σ−1
∂θ (1) e (θ)∂et(θ0)
∂θ (1)′
Maintenant, en utilisant (1.15), (1.20) et cette dernière égalité en ˆ θn, nous avons
ETr ˆΣ −1
e D
ˆθ (1)
n = 1
n Tr
′ ∂e
E
t(θ0)
∂θ (1) ˆ Σ −1∂et(θ0)
e
∂θ (1)′
En( ˆ θ (1)
n −θ(1) 0 )′ ( ˆ θ (1)
n −θ(1) 0 )
′ d ∂e t (θ0) ∂et(θ0)
= Tr E Σ−1
nd−k1 ∂θ (1) e0
∂θ (1)′
J −1
11 I11J −1
11
=
,
d
2(nd−k1) TrI11J −1
11
où J11 = 2E ∂e ′ t(θ0)/∂θ (1) Σ −1
e0 ∂et(θ0)/∂θ (1)′ (Voir le Théorème 3 dans Boubacar Mainassara
et Francq, 2009). Par conséquent, en utilisant (1.20), nous avons
ETr ˆΣ −1
e S(ˆ
θn) = ETr ˆΣ −1
e Σe0
+ETr ˆΣ −1
e D
ˆθ (1)
n
+E Tr ˆΣ −1 1
e OP
n2
nd
= Tr
nd−k1
Σ −1
e0 Σe0
d
+
2(nd−k1) TrI11J −1
1
11 +O
n2
nd
=
2 d
+
nd−k1 2(nd−k1) TrI11J −1
1
11 +O
n2
.
Ainsi, en utilisant cette dernière égalité dans E∆( ˆ θn), sous les hypothèses H1–H7 nous
obtenons un estimateur approximativement sans biais deE∆( ˆ θn) (noté AICM pour AIC
"modifié") donné par
AICM = nlogdet ˆ Σe + n2d2 nd
+
nd−k1 2(nd−k1) Tr
Î11,n ˆ J −1
11,n ,
où les vecteurs vec Î11,n et vec ˆ J11,n sont des estimateurs des vecteurs vecI11 et vecJ11
définis à la sous-section 1.4.1. En utilisant la relation Tr(AB) = vec(A ′ ) ′ vec(B), nous
avons
AICM = nlogdet ˆ Σe + n2d2 nd
+ vec
nd−k1 2(nd−k1)
Î′ ′
11,n vec ˆ J −1
11,n . (1.21)
Nous obtenons des estimateurs ˆp et ˆq des ordres p0 et q0 en minimisant le critère modifié
(1.21).