THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 37
Les expériences de Monte Carlo réalisées dans ce chapitre sur des modèles VARMA bivariés
montrent que les résultats des tests modifiés de LB et de BP sont meilleurs que
ceux des tests standard de LB et de BP, en particulier quand les innovations présentent
des dépendances et quand le nombre d’autocorrélations m = 1,2 (i.e. m ≤ p0 + q0).
Il est donc préférable d’utiliser la distribution que nous proposons dans le théorème
1.9 plutôt que l’approximation chi-deux usuelle. Nous constatons aussi que, comme
dans le cas où les erreurs sont gaussiennes (Hosking, 1980), la statistique de LB a de
meilleurs résultats pour des échantillons de petites tailles que celle de BP pour des
erreurs dépendantes.
1.4 Résultats du chapitre 5
Dans l’étape d’identification de la traditionnelle méthodologie de Box et Jenkins,
un des problèmes les plus délicats est celui de la sélection d’un petit nombre de valeurs
plausibles pour les ordres p0 et q0 du modèle VARMA.
Parmi les méthodes d’identification, les plus populaires sont celles basées sur l’optimisation
d’un critère d’information. Le critère d’information de Akaike (noté AIC pour
Akaike’s information criterion) est le plus utilisé. L’objectif de ce chapitre est d’étudier
le problème de sélection des ordres p0 et q0 de modèles VARMA dont les termes d’erreur
sont non corrélés mais non nécessairement indépendants. Les fondements théoriques du
critère AIC ne sont plus établis lorsque l’hypothèse de bruit iid est relâchée. Afin de
remédier à ce problème, nous proposons un critère d’information de Akaike modifié
(noté AICM).
1.4.1 Modèle et paramétrisation des coefficients
Nous utilisons la méthode du quasi-maximum de vraisemblance déjà définie dans
le chapitre 2 pour l’estimation des paramètres du modèle ARMA(p0,q0) structurel dmultivarié
(1.1) dont le terme d’erreur ǫt = (ǫ1 t,...,ǫd t) ′ est une suite de variables
aléatoires centrées, non corrélées, avec une matrice de covariance non singulière Σ.
Les paramètres sont les coefficients des matrices carrées d’ordre d suivantes : Ai, i ∈
{1,...,p0}, Bj, j ∈ {1,...,q0} et Σ. Nous supposons que ces matrices sont paramétrées
suivant le vecteur des vraies valeurs des paramètres noté θ0. Nous notons A0i = Ai(θ0),
i ∈ {1,...,p0}, Bj = Bj(θ0), j ∈ {1,...,q0} et Σ0 = Σ(θ0), où θ0 appartient à l’espace
compact des paramètres Θp0,q0 ⊂ R k0 , et k0 est le nombre de paramètres inconnus qui