THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 25
La démonstration de cette proposition repose sur le théorème ergodique 1.12 et la
proposition 1.1.
Rappelons que
I = Varas
1
√ n
n
t=1
Υt =
+∞
h=−∞
Cov(Υt,Υt−h), (1.7)
où
Υt = ∂
logdetΣe +e
∂θ
′ t(θ)Σ −1
e et(θ)
. (1.8)
θ=θ0
Comme pour la matrice J, nous décomposons I en termes impliquant le paramètre
θ0 du modèle VARMA et ceux impliquant la distribution des innovations et. Soit les
matrices
Mij,h := E e ′ t−h ⊗ Id 2 (p0+q0) ⊗e ′ t−j−h
′
⊗ e t ⊗ Id2 (p0+q0) ⊗e ′
t−i .
Les termes dépendants des paramètres du modèle VARMA sont les matrices λi définies
par (1.6). Les matrices
Γ(i,j) :=
+∞
h=−∞
Mij,h
mettent en jeux les moments d’ordre quatre du bruit blanc faible et. Les termes dépendants
de la variance de l’innovation sont dans la matriceΣe0. Nous énonçons maintenant
la proposition suivante pour la matrice I = I(θ0,Σe0) qui est similaire à la proposition
1.2.
Proposition 1.3. Sous les hypothèses de la proposition 1.2, nous avons
vecI = 4
+∞
i,j=1
Γ(i,j) Id ⊗λ ′ j
où les matrices λi sont définies par (1.6).
⊗{Id ⊗λ ′ i}
vec vecΣ −1
e0
−1 ′
vecΣe0 ,
La démonstration de cette proposition repose sur la proposition 1.1, ainsi que sur
quelques formules de calculs sur le produit de Kronecker et l’opérateur vec.
Remarque 1.7. En considérant le cas univarié, i.e. quand d = 1, nous avons
vecJ = 2
{λi ⊗λi} ′
i≥1
et vecI = 4
σ 4
+∞
i,j=1
γ(i,j){λj ⊗λi} ′ ,
où γ(i,j) = +∞
h=−∞ E(etet−iet−het−j−h) et les vecteurs λ ′ i ∈ Rp0+q0 sont définis par
(1.6).