THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 38
est inférieur à(p0+q0+3)d 2 (i.e. le nombre de paramètres sans aucune contrainte). Sous
les hypothèses H1–H6, nous avons établi dans le chapitre 2 la consistance ( ˆ θn → θ0 p.s
quand n → ∞) et la normalité asymptotique du QMLE :
√
n ˆθn L→ −1 −1
−θ0 N(0,Ω := J IJ ), (1.15)
où J = J(θ0) et I = I(θ0), avec
et
2 ∂
J(θ) = lim
n→∞ n
2
∂θ∂θ ′ logLn(θ) p.s
I(θ) = lim Var
n→∞ 2
√
n
∂
∂θ logLn(θ).
Dans le chapitre 3, sous les hypothèses H1–H7, nous avons obtenu des expressions
explicites des matrices I11 et J11, données par
vecI11 = 4
où la matrice
+∞
i,j=1
vecJ11 = 2
i≥1
Γ(i,j) Id ⊗λ ′ j
M := E
M{λ ′ i ⊗λ ′ i}vecΣ −1
e0 et
⊗{Id ⊗λ ′ i }
vec
Id 2 (p0+q0) ⊗e ′
⊗2
t ,
les matrices λi dépendent du paramètre θ0 et les matrices
Γ(i,j) =
+∞
h=−∞
ont déjà été définies.
E e ′ t−h ⊗ I d 2 (p0+q0) ⊗e ′ t−j−h
1.4.2 Définition du critère d’information
vecΣ −1
e0
−1 ′
vecΣe0 ,
′
⊗ e t ⊗ Id2 (p0+q0) ⊗e ′
t−i
En statistique on est souvent confronté au problème de l’identification d’un modèle
parmi m modèles, où les modèles candidats ont des paramètres θm de dimensions km.
Le choix peut s’effectuer en estimant chaque modèle et en minimisant un critère de la
forme
mesure del’erreur d’ajustement + terme de pénalisation.
On mesure souvent cette erreur d’ajustement par la somme des carrés des résidus, ou
encore par −2 fois la log-quasi-vraisemblance i.e. −2log ˜ Ln( ˆ θm). Le terme de pénalisation
est une fonction croissante de la dimension km du paramètre ˆ θm. Ce terme est