THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 3
Pour les applications économétriques, le cadre univarié est très restrictif. Les séries
économiques présentent des interdépendances fortes rendant nécessaire l’étude simultanée
de plusieurs séries. Le développement de la littérature sur la cointégration (fondée
sur les travaux du prix Nobel d’économie Granger) atteste de l’importance de cette
problématique. Parmi les modèles pouvant être ajustés au processus d’innovation linéaire,
dont les autocorrélations sont nulles mais qui peut néanmoins présenter des
dépendances temporelles, nous pouvons citer les modèles autorégressifs conditionnellement
hétéroscédastiques (ARCH) introduits par Engle (1982) et leur extension GARCH
(ARCH généralisés) due à Bollerslev (1986). Contrairement aux modèles ARMA, les
extensions des modèles GARCH au cadre multivarié ne sont pas directes. Il existe dans
la littérature différents types de modèles GARCH multivariés (voir Bauwens, Laurent et
Rombouts, 2006), comme le modèle à corrélation conditionnelle constante proposé par
Bollerslev (1988) et étendu par Jeantheau (1998). Les séries générées par ces modèles
sont des différences de martingales et sont utilisés pour décrire des séries financières.
Pour la modélisation de ces séries financières, d’autres modèles peuvent être utilisés,
comme par exemple les modèles all-pass (Davis et Breidt, 2006) qui gênèrent aussi des
séries non corrélées mais qui ne sont pas en général des différences de martingales.
De nombreux outils statistiques ont été développés pour l’analyse, l’estimation et
l’interprétation des modèles VARMA forts (voir e.g. Chitturi (1974), Dunsmuir et Hannan
(1976), Hannan (1976), Hannan, Dunsmuir, et Deistler (1980), Hosking (1980,
1981a, 1981b), Kascha (2007), Li et McLeod (1981) et Reinsel, Basu et Yap (1992)). Le
problème, qui nous préoccupera, sera l’analyse statistique des modèles VARMA faibles.
Le principal but de cette thèse est d’étudier l’estimation et la validité d’outils statistiques
dans le cadre des modèles VARMA faibles et d’en proposer des extensions. Les
travaux consacrés à l’analyse statistique des modèles VARMA faibles sont pour l’heure
essentiellement limités au cas univarié. Sous certaines hypothèses d’ergodicité et de mélange,
la consistance et la normalité asymptotique de l’estimateur des moindres carrés
ordinaires ont été montrés par Francq et Zakoïan (1998). Il se trouve que la précision
de cet estimateur dépend de manière cruciale des hypothèses faites sur le bruit. Il est
donc nécessaire d’adapter la méthodologie usuelle d’estimation de la matrice de variance
asymptotique comme dans Francq et Zakoïan (2000). Parmi les autres résultats statistiques
disponibles, signalons des travaux importants sur le comportement asymptotique
des autocorrélations empiriques établis par Romano et Thombs (1996). Ces auteurs ont
également introduits des processus non corrélés mais dépendants et qui peuvent être
étendus au cas multivarié. Signalons aussi les travaux importants sur les gains d’efficacité
des estimateurs de type GMM obtenus par Broze, Francq et Zakoïan (2001),
sur l’utilisation des tests portmanteau par Francq, Roy et Zakoïan (2005), sur les tests
de linéarité et l’estimation HAC de modèles ARMA faibles par Francq, et Zakoïan
(2007) et sur l’utilisation d’une méthode d’estimation basée sur la régression proposée