THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 34
convergent en loi, quand n → ∞, vers
d
Zm(ξm) =
2 m
ξi,d2mZ 2 i
où ξm = (ξ1,d 2 m,...,ξd 2 m,d 2 m) ′ est le vecteur des valeurs propres de la matrice
i=1
Ωm = Im ⊗Σ −1/2
e ⊗Σ −1/2
e ΣˆΓm
Im ⊗Σ −1/2
e ⊗Σ −1/2
e ,
et les Z1,...,Zm sont des variables indépendantes, centrées et réduites normalement
distribuées.
Ainsi quand le processus d’erreurs est un bruit blanc faible, la distribution asymptotique
des statistiques Pm et ˜ Pm est une somme pondérée de chi-deux.
En vue du théorème 1.9, la distribution asymptotique des statistiques du test portmanteau
de BP et de LB dépend du paramètre de nuisance Σe, de la matrice Φm et
des éléments de la matrice Ξ. Nous avons donc besoin d’estimateurs consistants de ces
matrices inconnues. La matrice Σe peut être estimée à partir des résidus d’estimation
par ˆ Σe = ˆ Γe(0). La matrice Φm peut être estimée empiriquement par
ˆΦm = 1
n
n
ê ′
t−1 ,...,ê ′ ′ ∂et(θ0)
t−m ⊗
∂θ ′
θ0= ˆ .
θn
t=1
Afin d’estimer la matrice Ξ, nous utilisons la méthode d’estimation de la densité spec-
trale (déjà définie les chapitres précédents) du processus stationnaire Υt = (Υ ′ 1 t ,Υ′ 2 t )′ ,
où Υ1 t = e ′ t−1,...,e ′ ′⊗et
t−m et Υ2 t = −2J−1 (∂e ′ t(θ0)/∂θ)Σ −1
e0 et(θ0). En interprétant
(2π) −1Ξ comme étant la densité spectrale évaluée en zéro du processus stationnaire
(Υt), nous avons
Ξ = Φ −1 (1)ΣuΦ −1 (1)
quand (Υt) satisfait une représentation VAR(∞) de la forme
Φ(L)Υt := Υt +
∞
ΦiΥt−i = ut, (1.14)
où ut est un bruit blanc faible de matrice de variance Σu. Puisque Υt est inconnu,
nous posons ˆ Υt le vecteur obtenu en remplaçant θ0 par ˆ θn dans l’expression de Υt.
Nous définissons le polynôme ˆ Φr(z) = I k0+d 2 m + r
i=1 ˆ Φr,iz i , où ˆ Φr,1,··· , ˆ Φr,r sont les
coefficients de la régression des moindres carrés de ˆ Υt sur ˆ Υt−1,··· , ˆ Υt−r. Notons ûr,t
les résidus de cette régression et ˆ Σûr la variance empirique des résidus ûr,1,...,ûr,n.
Nous établissons le théorème suivant qui est une extension du résultat de Francq, Roy
et Zakoïan (2004).
i=1