THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Chapitre 1. Introduction 16 ˆJ11 = 2 n n t=1 ∂ ∂ϑ (1)˜e′ t( ˆ ϑ (1) n ) ˆΣ −1 ∂ e0 ∂ϑ (1)′˜et( ˆ ϑ (1) n ) . Dans le cas standard des VARMA forts ˆ Ω = 2 ˆ J −1 est un estimateur fortement convergent de Ω. Dans le cas général des VARMA faibles, cet estimateur n’est pas convergent quand I = 2J. Estimation de la matrice I Nous avons besoin d’un estimateur convergent de la matrice I. Notons que 1 I = varas√ n n t=1 Υt = +∞ h=−∞ cov(Υt,Υt−h), (1.4) où Υt = ∂ logdetΣe +e ∂ϑ ′ t (ϑ(1) )Σ −1 e et(ϑ (1) ) ϑ=ϑ0 . L’existence de la somme des covariances dans (1.4) est une conséquence de l’hypothèse H5 et de l’inégalité de covariance de Davydov (1968). Cette matrice I est plus délicate à estimer. Néanmoins nous nous reposons sur deux méthodes suivantes pour l’estimer – la méthode d’estimation non paramètrique du noyau aussi appelée HAC (Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent), – la méthode d’estimation paramètrique de la densité spectrale (notée SP). Définition de l’estimateur HAC de la matrice I Dans la littérature économique, l’estimateur non paramètrique du noyau (aussi appelé HAC) est largement utilisé pour estimer une matrice de covariance de la forme deI. La technique que nous utilisons consiste à pondérer convenablement certains moments empiriques. Cette pondération se fait au moyen d’une suite de poids (ou fenêtre). Cette approche est semblable à celle de Andrews (1991), Newey et West (1994). Soit ˆ Υt le vecteur obtenu en remplaçant ϑ0 par ˆ ϑn dans Υt. La matrice Ω est donc estimée par un estimateur "sandwich" de la forme ˆΩ HAC = ˆ J −1 Î HAC ˆ J −1 , Î HAC = 1 n où ω0,...,ωn−1 est une suite de poids (ou fenêtre). n t,s=1 ω|t−s| ˆ Υt ˆ Υs,
Chapitre 1. Introduction 17 Définition de l’estimateur SP de la matrice I Une méthode alternative consiste à utiliser un modèle VAR paramètrique estimé de la densité spectrale du processus (Υt). Cette approche a été étudiée par Berk (1974) (voir aussi den Haan et Levin, 1997). Ceci revient à interpréter (2π) −1 I comme étant la densité spectrale évaluée à la fréquence 0 du processus stationnaire (Υt) (voir Brockwell et Davis, 1991, p. 459). Nous nous basons sur l’expression I = Φ −1 (1)ΣuΦ −1 (1) quand (Υt) satisfait une représentation VAR(∞) de la forme Φ(L)Υt := Υt + ∞ ΦiΥt−i = ut, où ut est un bruit blanc faible de matrice covariance Σu. Notons ˆ Φr,1,..., ˆ Φr,r les coefficients de la régression des moindres carrés de ˆ Υt sur ˆ Υt−1,..., ˆ Υt−r et posons ˆΦr(z) = Ik0−s + r i=1 ˆ Φr,iz i . Soit ûr,t les résidus de cette regression et ˆ Σûr la variance empirique de ûr,1,...,ûr,n. Nous énonçons maintenant le théorème suivant qui est une extension de celui de Francq, Roy et Zakoïan (2005). Théorème 1.4. (Convergence faible de I) Sous les hypothèses du Théorème 1.3, nous supposons que le processus (Υt) admet une représentation VAR(∞) pour laquelle les racines de detΦ(z) = 0 sont à l’extérieur du disque unité, Φi = o(i−2 ), et que la matrice Σu = Var(ut) est non singulière. Nous supposons également que ǫt8+4ν < ∞ et ∞ k=0 {αX,ǫ(k)} ν/(2+ν) < ∞ pour un réel ν > 0, où {αX,ǫ(k)} k≥0 désigne la suite des coefficients de mélange fort du processus (X ′ t ,ǫ′ t )′ . Alors, l’estimateur i=1 Î SP := ˆ Φ −1 r (1) ˆ Σûr ˆ Φ ′−1 r (1) → I en probabilité quand r = r(n) → ∞ et r 3 /n → 0 quand n → ∞. La démonstration s’inspire de celle de Francq, Roy et Zakoïan (2005) et repose sur une série de lemmes. 1.1.3 Tests sur les coefficients du modèle En dehors des contraintes imposées pour assurer l’identifiabilité du modèle VARMA(p0,q0), d’autres contraintes linéaires peuvent être testées sur les paramètres
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