THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 45
I11 = 2J11 et Tr I11J −1
11 = k1. Par conséquent, en vue de la proposition 1.5, nous obtenons
que les termes a1 (sur-ajustement moyen) et a2 (perte de précision sur replications
indépendantes) sont tous deux égaux à foisk1 = dim(θ (1)
0 ) (nombre de paramètres). Dans
ce cas, un estimateur approximativement sans biais de E∆( ˆ θn) prend la forme suivante
nd
+
nd−k1 2(nd−k1) 2k1
= nlogdet ˆ Σe + nd
(nd+k1)
nd−k1
= nlogdet ˆ Σe +nd+ nd
2k1, (1.23)
nd−k1
AICM = nlogdet ˆ Σe + n2 d 2
qui illustre que les critères AIC standard et AICM ne diffèrent que de l’inclusion d’un
terme de pénalité nd/(nd − k1). Ce facteur peut jouer un rôle important dans performance
du AICM si k1 est non négligeable par rapport à la taille de l’échantillon n. En
particulier, ce facteur contribue à réduire le biais du AIC, lequel peut être important
quand n n’est pas grand. Par conséquent, l’utilisation de cet estimateur amélioré de
l’écart moyen devrait conduire à une amélioration des performances du AICM plus que
le AIC en termes de choix du modèle.
Remarque 1.10. Sous certaines hypothèses de régularité, il est montré dans Findley
(1993) que, les termes a1 et a2 sont tous les deux équivalents à k1. Dans ce cas, le
critère AIC
AIC = −2logLn( ˆ θn)+2k1
(1.24)
est un estimateur approximativement sans biais du contraste C( ˆ θn). La sélection des
ordres du modèle est obtenue en minimisant (1.24) pour les modèles candidats.
Remarque 1.11. Pour une famille donnée de modèles candidats, nous préférons celui
qui minimise E∆( ˆ θn). Ainsi les ordres ˆp et ˆq du modèle sélectionné sont choisis dans
l’ensemble des ordres qui minimise le critère d’information (1.21).
Remarque 1.12. En considérant le cas univarié d = 1, nous obtenons
AICM = nˆσ 2 e +
n
n+
n−(p0 +q0)
1
ˆσ 4
+∞
i,j,i ′ =1
ˆγ(i,j) ˆλj ˆ λ −1′
i ′ ⊗ ˆ λi ˆ λ −1′
i ′
,
où ˆσ 2 e est la variance estimée du processus univarié (et) et où ˆγ(i,j) sont des estimateurs
des γ(i,j) = +∞
h=−∞E(etet−iet−het−j−h). Les vecteurs λ ′ i ∈ Rp0+q0 sont les estimateurs
des vecteurs définis par (1.6).