THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 32
Nous énonçons le résultat suivant qui donne le comportement asymptotique des autocovariances
et autocorrélations résiduelles.
Théorème 1.8. Sous les hypothèses du théorème 1.7, nous avons
√ n ˆ Γm ⇒ N 0,ΣˆΓm
et √ nˆρm ⇒ N (0,Σˆρm) où,
ΣˆΓm = Σγm +ΦmΣˆ θn Φ ′ m +ΦmΣˆ θn,γm +Σ ′ ˆ θn,γm Φ ′ m
Σˆρm = Im ⊗(Se ⊗Se) −1 ΣˆΓm
et Φm est donné par (1.11).
Im ⊗(Se ⊗Se) −1
(1.12)
(1.13)
Dans la démonstration de ce théorème, nous utilisons les autocovariances empiriques
du bruit précédemment définies et le théorème 1.7. Le résultat (1.12) découle de la
relation
ˆΓm :=
vecˆ ′
Γe(1) ,..., vecˆ
′
′
Γe(m) = γm +Φm( ˆ θn −θ0)+OP(1/n),
que nous montrons en utilisant un développement limité de Taylor. Finalement nous
obtenons le résultat (1.13) en calculant la variance asymptotique Var( √ nˆρm) de
ˆρm = Im ⊗(Se ⊗Se) −1 ˆ Γm +OP(n −1 ).
1.3.4 Comportement asymptotique des statistiques portmanteau
Le test portmanteau a été introduit par Box et Pierce (1970) (noté BP dans la suite)
afin de mesurer la qualité d’ajustement d’un modèle ARMA fort univarié. Ce test a été
étendu au cas de modèles ARMA multivariés par Chitturi (1974). Comme dans le cas
univarié, ce test est basé sur les résidus ˆǫt résultants de l’estimation des paramètres du
modèle (1.1). Hosking (1981a) a proposé plusieurs formes équivalentes à la statistique