THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 17
Définition de l’estimateur SP de la matrice I
Une méthode alternative consiste à utiliser un modèle VAR paramètrique estimé de
la densité spectrale du processus (Υt). Cette approche a été étudiée par Berk (1974)
(voir aussi den Haan et Levin, 1997). Ceci revient à interpréter (2π) −1 I comme étant la
densité spectrale évaluée à la fréquence 0 du processus stationnaire (Υt) (voir Brockwell
et Davis, 1991, p. 459). Nous nous basons sur l’expression
I = Φ −1 (1)ΣuΦ −1 (1)
quand (Υt) satisfait une représentation VAR(∞) de la forme
Φ(L)Υt := Υt +
∞
ΦiΥt−i = ut,
où ut est un bruit blanc faible de matrice covariance Σu. Notons ˆ Φr,1,..., ˆ Φr,r les
coefficients de la régression des moindres carrés de ˆ Υt sur ˆ Υt−1,..., ˆ Υt−r et posons
ˆΦr(z) = Ik0−s + r
i=1 ˆ Φr,iz i . Soit ûr,t les résidus de cette regression et ˆ Σûr la variance
empirique de ûr,1,...,ûr,n. Nous énonçons maintenant le théorème suivant qui est une
extension de celui de Francq, Roy et Zakoïan (2005).
Théorème 1.4. (Convergence faible de I) Sous les hypothèses du Théorème 1.3,
nous supposons que le processus (Υt) admet une représentation VAR(∞) pour laquelle
les racines de detΦ(z) = 0 sont à l’extérieur du disque unité, Φi = o(i−2 ), et que la
matrice Σu = Var(ut) est non singulière. Nous supposons également que ǫt8+4ν < ∞
et ∞ k=0 {αX,ǫ(k)} ν/(2+ν) < ∞ pour un réel ν > 0, où {αX,ǫ(k)} k≥0 désigne la suite des
coefficients de mélange fort du processus (X ′ t ,ǫ′ t )′ . Alors, l’estimateur
i=1
Î SP := ˆ Φ −1
r (1) ˆ Σûr ˆ Φ ′−1
r (1) → I
en probabilité quand r = r(n) → ∞ et r 3 /n → 0 quand n → ∞.
La démonstration s’inspire de celle de Francq, Roy et Zakoïan (2005) et repose sur
une série de lemmes.
1.1.3 Tests sur les coefficients du modèle
En dehors des contraintes imposées pour assurer l’identifiabilité du modèle
VARMA(p0,q0), d’autres contraintes linéaires peuvent être testées sur les paramètres