THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 20
entre les maxima contraint et non contraint de la log-quasi-vraisemblance est assez
petit. Un développement limité de Taylor montre que
√
n ˆϑn − ˆ ϑ c
op(1) √ −1 ′
n = − nJ R ˆ
0λ, et que la statistique du LR satisfait
LRn := 2 log˜ Ln( ˆ ϑn)−log˜ Ln( ˆ ϑ c n)
oP(1)
n
=
2 (ˆ ϑn − ˆ ϑ c n) ′ J( ˆ ϑn − ˆ ϑ c n) oP(1) ∗
= LMn. En utilisant ces précédents calculs et des résultats standard sur les formes quadratiques
de vecteurs (voir e.g. le lemme 17.1 de van der Vaart, 1998), nous trouvons que la
statistique du LR (i.e. LRn) suit asymptotiquement une distribution s0
i=1 λiZ 2 i où les
Zi sont iid N(0,1) et les λ1,...,λs0 sont les valeurs propres de la matrice
ΣLR = J −1/2 SLRJ −1/2 , SLR = 1
2 R′ 0(R0J −1 R ′ 0) −1 R0ΩR ′ 0(R0J −1 R ′ 0) −1 R0.
Notons que dans le cas de modèles VARMA forts, i.e. quand Ω = 2J−1 , la matrice
ΣLR = J−1/2R ′ 0 (R0J−1R ′ 0 )−1R0J−1/2 est une matrice de projection. Les valeurs propres
de cette matrice sont donc, soit égales à 0 ou 1, et le nombre de valeurs propres égales à
1 est TrJ −1/2R ′ 0(R0J−1R ′ 0) −1R0J−1/2 = TrIs0 = s0. Ainsi, nous retrouvons le résultat
bien connu que LRn ∼ χ2 s0 sous H0 dans le cas des modèles VARMA forts. Pour les
modèles VARMA faibles la distribution asymptotique est celle d’une forme quadratique
de vecteurs gaussiens, qui peut être évaluée avec l’algorithme de Imhof (1961), qui a
cependant l’inconvénient de nécessiter beaucoup de temps de calcul. Une alternative
est d’utiliser une statistique transformée
n
2 (ˆ ϑn − ˆ ϑ c n) ′ JˆSˆ −
LR ˆ J( ˆ ϑn − ˆ ϑ c n),
où ˆ S −
LR est l’inverse généralisée de ˆ SLR. Cette statistique suit une distribution χ2 s0
sous H0, quand ˆ J et ˆ SLR sont des estimateurs faiblement convergents de J et SLR.
L’estimateur ˆ S −
LR peut être obtenu à partir d’une décomposition des valeurs singulières
d’un estimateur faiblement convergent ˆ SLR de SLR. Plus précisément, nous définissons
la matrice diagonale ˆ
Λ = diag ˆλ1,..., ˆ
λk0 où ˆ λ1 ≥ ˆ λ2 ≥ ··· ≥ ˆ λk0 sont les valeurs
propres de la matrice symétrique ˆ SLR, et notons ˆ P la matrice orthogonale telle que
ˆSLR = ˆ Pˆ Λˆ P ′ , nous posons
ˆS −
LR = ˆ Pˆ Λ −
P ˆ′ , Λˆ −
= diag ˆλ −1
1 ,...,ˆ λ −1
s0 ,0,...,0
.
Alors, la matrice ˆ S −
LR
converge faiblement vers la matrice S−
LR , laquelle satisfait
SLRS −
LR SLR = SLR, puisque SLR est de plein rang s0.
Remarque 1.5. Notons que le test du LR nécessite à la fois la maximisation de la
quasi-vraisemblance contrainte et non contrainte, et en plus l’estimation de l’inverse
généralisée de la matrice SLR ou l’utilisation de l’algorithme de Imhof (1961).