THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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Chapitre 1. Introduction 48 oùf est une fonction mesurable deR ∞ dansR ˜ d , alors(Yt) t∈Z est également un processus vectoriel strictement stationnaire ergodique. Théorème 1.12. Si (Xt) t∈Z est un processus vectoriel strictement stationnaire et ergodique de dimension d, si f est une fonction mesurable de R ∞ dans R ˜ d et si E f ...,X ′ t−1 ,X ′ t ,X′ t+1 ,... < ∞, alors 1 n n t=1 f ...,X ′ t−1 ,X′ t ,X′ t+1 ,... p.s → Ef ...,X ′ t−1 ,X ′ t ,X′ t+1 ,... . 1.5.3 Accroissement de martingale Dans un jeu équitable de hasard pur (par exemple F et G jouent à pile ou face, F donne un euro à G quand la pièce fait pile, G donne un euro à F quand la pièce fait face), la fortune d’un joueur est une martingale. Définition 1.10. Soit (Xt) t∈N est un processus vectoriel de variables aléatoires réelles (v.a.r) et (Ft) t∈N une suite de tribus. La suite (Xt,Ft) t∈N est une martingale si et seulement si 1. Ft ⊂ Ft+1, 2. Xt est Ft-mesurable, 3. EXt < ∞, 4. E(Xt+1|Ft) = Xt. Quand on dit que (Xt) t∈N est une martingale, on prend implicitement Ft = σ(Xu, u ≤ t), c’est-à-dire la tribu engendrée par les valeurs passées et présentes. Définition 1.11. Soit (ηt) t∈N un processus vectoriel de v.a.r et (Ft) t∈N une suite de tribus. La suite(ηt,Ft) t∈N est une différence de martingale (ou une suite d’accroissement de martingale) si et seulement si 1. Ft ⊂ Ft+1, 2. ηt est Ft-mesurable, 3. Eηt < ∞, 4. E(ηt+1|Ft) = 0. Remarque 1.14. Si la suite (Xt,Ft) t∈N est une martingale et si on pose η0 = X0, ηt = Xt−Xt−1, alors la suite (ηt,Ft) t∈N est une différence de martingale : E(ηt+1|Ft) = E(Xt+1|Ft)−E(Xt|Ft) = 0.
Chapitre 1. Introduction 49 Remarque 1.15. Si la suite (ηt,Ft) t∈N est une différence de martingale et si on pose Xt = t n=0 ηn, alors la suite (Xt,Ft) t∈N est une martingale : E(Xt+1|Ft) = E({Xt +ηt+1}|Ft) = Xt. 1.5.4 Mélange Définition de l’α-mélange Dans un espace probabilisé (Ω,A0,P), considérons A et B deux sous-tribus de A0. Nous définissons le coefficient de α-mélange (ou de mélange fort) entre ces deux tribus par α(A,B) = sup |P (A∩B)−P(A)P(B)|. A∈A,B∈B Il est évident que si A et B sont indépendantes alors α(A,B) = 0. Si par contre A = B = {A,A c ,∅,Ω} avec P(A) = 1/2 alors α(A,B) = 1/4. Les coefficients de mélange fort d’un processus vectoriel X = (Xt) sont définis par αX (h) = supα[σ(Xu,≤ t),σ(Xu,≥ t+h)]. t Si X est stationnaire, on peut enlever le terme sup t. On dit que X est fortement mélangeant si αX (h) → 0 quand h → ∞. Inégalité de covariance Soient p,q et r trois nombres positifs tels que p −1 +q −1 +r −1 = 1. Davydov (1968) a montré l’inégalité de covariance suivante |Cov(X,Y)| ≤ K0XpYq[α{σ(X),σ(Y)}] 1/r , (1.25) où X p p = EXp et K0 est une constante universelle. Dans le cas univarié, Davydov avait proposé K0 = 12. Rio (1993) a obtenu une inégalité plus fine, faisant intervenir les fonctions quantiles de X et Y . Cette inégalité montre également que l’on peut prendre K0 = 4 dans (1.25). Notons que (1.25) entraîne que la fonction d’autocovariance d’un processus stationnaire α-mélangeant ( et possédant des moments suffisants) tend vers zéro. Ces résultats peuvent être directement étendus à un processus vectoriel.
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UNIVERSITÉ CHARLES DE GAULLE - LIL
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Résumé Dans cette thèse nous él
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Abstract The goal of this thesis is
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