THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 9
les outils statistiques standard pour l’estimation et l’inférence des modèles VARMA
faibles.
Le deuxième chapitre est consacré à établir les propriétés asymptotiques des estimateurs
du quasi-maximum de vraisemblance (en anglais QMLE) et des moindres carrés
(noté LSE pour Least Squares Estimator), afin de les comparer à celles du cas standard.
Ensuite, nous accordons une attention particulière à l’estimation de la matrice
de variance asymptotique de ces estimateurs. Cette matrice est de la forme "sandwich"
Ω := J −1 IJ −1 , et peut être très différente de la variance asymptotique standard, dont la
forme est Ω := 2J −1 . Enfin des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur
de Lagrange et du rapport de vraisemblance sont proposées pour tester des restrictions
linéaires sur les paramètres libres du modèle.
Dans le troisième chapitre, nous considérons de façon plus détaillée le problème de
l’estimation de la matrice de variance asymptotique Ω des estimateurs QML/LS d’un
modèle VARMA sans faire l’hypothèse d’indépendance habituelle sur le bruit. Dans un
premier temps, nous proposons une expression des dérivées des résidus en fonction des
paramètres du modèle VARMA. Ceci nous permettra ensuite de donner une expression
explicite des matrices I et J impliquées dans la variance asymptotique Ω, en fonction
des paramètres des polynômes VAR et MA, et des moments d’ordre deux et quatre du
bruit. Enfin nous en déduisons un estimateur deΩ, dont nous établissons la convergence.
Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons au problème de la validation des
modèles VARMA faibles. Dans un premier temps, nous étudions la distribution asymptotique
jointe de l’estimateur du QML et des autocovariances empiriques du bruit. Ceci
nous permet d’obtenir les distributions asymptotiques des autocovariances et autocorrélations
résiduelles. Ces autocorrélations résiduelles sont normalement distribuées avec
une matrice de covariance différente du cas iid. Enfin, nous déduisons le comportement
asymptotique des statistiques portmanteau. Dans le cadre standard (c’est-à-dire
sous les hypothèses iid sur le bruit), il est connu que la distribution asymptotique des
tests portmanteau est approximée par un chi-deux. Dans le cas général, nous montrons
que cette distribution asymptotique est celle d’une somme pondérée de chi-deux. Cette
distribution peut être très différente de l’approximation chi-deux usuelle du cas fort.
Nous en déduisons des tests portmanteau modifiés pour tester l’adéquation de modèles
VARMA faibles.
Le cinquième chapitre est consacré au problème très important de sélection de modèles
en séries chronologiques. Depuis des années, ce champ de recherche suscite un
intérêt croissant au sein de la communauté des économètres et des statisticiens. En
attestent les nombreuses publications scientifiques dans ce domaine et les différents