THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 28
où [x] désigne la partie entière de x.
En vue de la proposition 1.3, nous définissons un estimateur În de I par
vec În = 4
+∞
i,j=1
ˆΓn(i,j) Id ⊗ ˆ λ ′
i ⊗ Id ⊗ ˆ λ ′
j vec
vec ˆ Σ −1
e0
vec ˆ Σ −1
e0
′
.
Maintenant nous énonçons le théorème suivant qui montre la consistance faible de
l’estimateur empirique În.
Théorème 1.6. (Consistance faible de În) Sous les hypothèses du théorème 1.5,
nous avons
În → I en probabilité, quand n → ∞.
La démonstration de ce théorème repose sur une série de trois lemmes, dans lesquels
nous montrons les convergences de ˆ λi et de ˆ Σ −1
e0 . Dans le dernier lemme, nous montrons
la convergence de ˆ Γn(i,j) uniformément en i et j.
Les théorèmes 1.5 et 1.6 montrent alors que
ˆΩn := ˆ J −1
n În ˆ J −1
n
est un estimateur faiblement consistant de la matrice de covariance asymptotique Ω :=
J −1 IJ −1 .
1.3 Résultats du chapitre 4
Dans la modélisation des séries temporelles, la validité des différentes étapes de la
méthodologie traditionnelle de Box et Jenkins, à savoir les étapes d’identification, d’estimation
et de validation, dépend des propriétés du bruit blanc. Après l’identification
et l’estimation du processus vectoriel autorégressif moyenne mobile, la prochaine étape
importante dans la modélisation de modèles VARMA consiste à vérifier si le modèle
estimé est compatible avec les données. Cette étape d’adéquation permet de valider ou
d’invalider le choix des ordres du modèle. Ce choix est important pour la précision des
prévisions linéaires et pour une bonne interprétation du modèle.
Pour les modèles VARMA(p0,q0), le choix de p0 et q0 est particulièrement important
parce que le nombre (p0+q0+2)d 2 de paramètres augmente rapidement avec p0 et q0.