THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 11
1.1.1 Estimation des paramètres
Pour l’estimation des paramètres, nous utiliserons la méthode du quasi-maximum
de vraisemblance, qui est la méthode du maximum de vraisemblance gaussien lorsque
l’hypothèse de bruit blanc gaussien est relâchée. Nous présentons l’estimation du modèle
ARMA(p0,q0) structurel d-multivarié (1.1) dans lequel Xt = (X1 t,...,Xd t) ′ est un
processus vectoriel stationnaire au second ordre, à valeurs réelles. Le terme d’erreur
ǫt = (ǫ1 t,··· ,ǫd t) ′ est une suite de variables aléatoires centrées, non corrélées, avec
une matrice de covariance non singulière Σ. Les paramètres sont les coefficients des
matrices carrées d’ordre d suivantes : Ai, i ∈ {1,...,p0}, Bj, j ∈ {1,...,q0} et Σ.
Avant de détailler la procédure d’estimation et ses propriétés, nous étudions quelles
conditions imposer aux matrices Ai, Bj et Σ afin d’assurer l’identifibialité du modèle,
c’est-à-dire l’unicité des (p0+q0+3)d 2 paramètres du modèle. Nous supposons que ces
matrices sont paramétrées suivant le vecteur des vraies valeurs des paramètres noté ϑ0.
Nous notons A0i = Ai(ϑ0), i ∈ {1,...,p0}, Bj = Bj(ϑ0), j ∈ {1,...,q0} et Σ0 = Σ(ϑ0),
où ϑ0 appartient à l’espace compact des paramètres Θ ⊂ R k0 , et k0 est le nombre de
paramètres inconnus qui est inférieur à (p0+q0+3)d 2 . Pour tout ϑ ∈ Θ, nous supposons
aussi que les applications ϑ ↦→ Ai(ϑ) i = 0,...,p0, ϑ ↦→ Bj(ϑ) j = 0,...,q0 et ϑ ↦→ Σ(ϑ)
admettent des dérivées continues d’ordre 3.
Conditions d’identifiabilité
Pour la suite, nous notons Ai(ϑ), Bj(ϑ) et Σ(ϑ) par Ai, Bj et Σ. Soit les poly-
nômes Aϑ(z) = A0 − p0
i=1 Aiz i et Bϑ(z) = B0 − q0
i=1 Biz i . Dans le cadre de modèles
VARMA(p0,q0) structurels, l’hypothèse H1 qui assure que les polynômes Aϑ0(z) et
Bϑ0(z) n’ont pas de racine commune, ne suffit pas à garantir l’identifiabilité du paramètre,
c’est-à-dire à garantir que seule la valeur ϑ = ϑ0 satisfasse Aϑ(L)Xt = Bϑ(L)ǫt.
On suppose donc que
H2 : pour tout ϑ ∈ Θ tel que ϑ = ϑ0, soit les fonctions de transfert
ou
A −1 −1
0 B0B
ϑ (z)Aϑ(z) = A −1
00
B00B −1
ϑ0 (z)Aϑ0(z) pour un z ∈ C
A −1
0 B0ΣB ′ 0A−1′ 0 = A −1
00B00Σ0B ′ 00A−1′ 00 .
Cette condition équivaut à l’existence d’un opérateur U(L) tel que
Aϑ(L) = U(L)Aϑ0(L), A0 = U(1)A00, Bϑ(L) = U(L)Bϑ0(L) et B0 = U(1)B00.
On dit que U(L) est unimodulaire si det{U(L)} est une constante non nulle. Lorsque les
seuls facteurs communs à deux polynômesP(L) etQ(L) sont unimodulaires, c’est-à-dire