THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 13
Propriétés asymptotiques de l’estimateur du QML/LS
Afin d’établir la convergence forte de l’estimateur du QML, il est utile d’approximer
la suite (˜et(ϑ)) par une suite stationnaire ergodique. C’est ainsi que nous faisons
l’hypothèse d’ergodicité suivante
H3 : Le processus (ǫt) est stationnaire et ergodique.
Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de convergence forte suivant.
Théorème 1.1. (Convergence forte) Sous les hypothèses H1, H2 et H3, soit (Xt)
une solution causale ou non anticipative de l’équation (1.1) et soit ( ˆ ϑn) une suite d’estimateurs
du QML. Alors, nous avons presque sûrement ˆ ϑn → ϑ0 quand n → ∞.
Ainsi comme dans le cas où le processus des innovations est un bruit blanc fort,
nous obtenons la consistance forte de l’estimateur ˆ ϑn dans le cas faible.
Nous montrons ce théorème en appliquant le théorème 1.12 6 , les conditions
d’identifiabilité et l’inégalité élémentaire Tr(A −1 B) − logdet(A −1 B) ≥ Tr(A −1 A) −
logdet(A −1 A) = d pour toute matrice symétrique semi-définie positive de taille d×d.
L’ergodicité ne suffit pas pour obtenir un théorème central limite (noté TCL dans
la suite). Pour la normalité asymptotique du QMLE, nous avons donc besoin des hypothèses
supplémentaires. Il est d’abord nécessaire de supposer que le paramètre ϑ0 n’est
pas situé sur le bord de l’espace compact des paramètres Θ.
H4 : Nous avons ϑ0 ∈ ◦
Θ, où ◦
Θ est l’intérieur de Θ.
Nous introduisons les coefficients de mélange fort d’un processus vectoriel X = (Xt)
définis par
αX (h) = sup
A∈σ(Xu,≤t),B∈σ(Xu,≥t+h)
|P (A∩B)−P(A)P(B)|.
On dit que X est fortement mélangeant si αX (h) → 0 quand h → ∞. Nous considérons
l’hypothèse suivante qui nous permet de contrôler la dépendance dans le temps du
processus (ǫt).
H5 : Il existe un réel ν > 0 tel que Eǫt 4+2ν < ∞ et les coefficients de
mélange du processus (ǫt) vérifient ∞
k=0
{αǫ(k)} ν
2+ν < ∞.
Notons que d’après l’hypothèse H1 et l’équation (1.1), le processus (Xt) peut s’écrire
comme une combinaison linéaire de ǫt,ǫt−1,..., ce qui implique, d’après H5 que le processus
(Xt) est mélangeant. Cette hypothèse H5 est donc plus faible que l’hypothèse de
bruit blanc fort de point de vue de la dépendance. D’autre part, nous faisons l’hypothèse
d’existence de moments d’ordre 4 + (supérieur à quatre), c’est-à-dire Eǫt 4+2ν < ∞
6. Théorème ergodique, voir annexe.