THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 26
Remarque 1.8. Toujours pour le cas univarié (d = 1), Francq, Roy and Zakoïan
(2005) ont utilisé l’estimateur des moindres carrés et ont obtenu
E ∂2
∂θ∂θ ′e2t (θ0) = 2
σ 2 λiλ ′
i et Var 2et(θ0) ∂et(θ0)
= 4
∂θ
γ(i,j)λiλ ′ j
i≥1
où σ2 est la variance du processus univarié et et les vecteurs λi =
∗ −φi−1,...,−φ ∗ i−p0 ,ϕ∗i−1,...,ϕ ∗ ′ p0+q0 ∗
i−q0 ∈ R , avec la convention φi = ϕ∗ i = 0 quand
i < 0. En utilisant l’opérateur vec et la relation élémentaire vec(aa ′ ) = a ⊗ a ′ , leur
résultat donne
vecJ = vecE ∂2
∂θ∂θ ′ℓn(θ0) = 1 ∂2
vecE
σ2 ∂θ∂θ ′e2t(θ0) = 2
λi ⊗λi et
∂ℓn(θ0)
vecI = vec Var
∂θ
i≥1
= 1
∂et(θ0)
vec Var 2et =
σ4 ∂θ
4
σ4 lesquelles sont les expressions données dans la remarque 1.7.
i,j≥1
γ(i,j)λi ⊗λj,
1.2.4 Estimation de la matrice de variance asymptotique Ω :=
J −1 IJ −1
Étant donné que nous disposons des expressions explicites de I et J, nous nous
intéressons à l’estimation de ces matrices. Soit êt = ˜et( ˆ θn) les résidus du QMLE quand
p0 > 0 et q0 > 0, et soit êt = et = Xt quand p0 = q0 = 0. Quand p0+q0 = 0, nous avons
êt = 0 pour t ≤ 0 et t > n, et posons
p0
êt = Xt −
i=1
A −1
0 (ˆ θn)Ai( ˆ θn) ˆ Xt−i +
q0
i=1
i,j≥1
A −1
0 (ˆ θn)Bi( ˆ θn)B −1
0 (ˆ θn)A0( ˆ θn)êt−i,
pour t = 1,...,n, avec ˆ Xt = 0 pour t ≤ 0 et ˆ Xt = Xt pour t ≥ 1. Soit ˆ Σe0 =
n−1n t=1êtê ′ t un estimateur de Σe0. La matrice M impliquée dans l’expression de J
peut facilement être estimée empiriquement par
ˆMn := 1
n Id 2 (p+q) ⊗ê
n
′
⊗2
t .
En vue de la proposition 1.2, nous définissons un estimateur ˆ Jn de J par
vec ˆ Jn =
ˆMn
ˆλ ′
i ⊗ ˆ λ ′
i vec ˆ Σ −1
e0 .
i≥1
t=1
Nous énonçons maintenant le théorème suivant qui montre la consistance forte de ˆ Jn.