THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 22
résidus passés et des paramètres du modèle VARMA. Ceci nous permettra ensuite de
donner une expression explicite des matrices I et J impliquées dans la variance asymptotique
des estimateurs QML/LS, en fonction des paramètres des polynômes VAR et
MA, et des moments d’ordre deux et quatre du bruit. Enfin nous en déduisons un
estimateur de la matrice Ω. Nous établissons la convergence de cet estimateur.
1.2.1 Notations et paramétrisation des coefficients du modèle
VARMA
Nous utilisons la méthode du quasi-maximum de vraisemblance déjà définie dans le
chapitre précédent pour l’estimation des paramètres du modèle ARMA(p0,q0) structurel
d-multivarié (1.1) dont le terme d’erreur ǫt = (ǫ1 t,··· ,ǫd t) ′ est une suite de variables
aléatoires centrées, non corrélées, avec une matrice de covariance non singulière Σ.
Les paramètres sont les coefficients des matrices carrées d’ordre d suivantes : Ai, i ∈
{1,...,p0}, Bj, j ∈ {1,...,q0}. Dans ce chapitre nous considérons la matrice Σ comme
un paramètre de nuisance. Nous supposons que ces matrices sont paramétrées suivant
le vecteur des vraies valeurs des paramètres noté θ0. Nous notons A0i = Ai(θ0), i ∈
{1,...,p0}, Bj = Bj(θ0), j ∈ {1,...,q0} et Σ0 = Σ(θ0), où θ0 appartient à l’espace
compact des paramètres Θ ⊂ R k0 , et k0 est le nombre de paramètres inconnus qui
est inférieur à (p0 + q0 + 2)d 2 (i.e. le nombre de paramètres sans aucune contrainte).
Pour tout θ ∈ Θ, nous supposons aussi que les applications θ ↦→ Ai(θ) i = 0,...,p0,
θ ↦→ Bj(θ) j = 0,...,q0 et θ ↦→ Σ(θ) admettent des dérivées continues d’ordre 3. Nous
définissons vec(·) l’opérateur qui consiste à empiler en un vecteur les colonnes d’une
matrice en partant de la première colonne jusqu’à la dernière. Sous l’hypothèse H1, les
matrices A00 et B00 sont inversibles. Ceci nous permet d’écrire le modèle réduit sous sa
forme compacte
Aθ(L)Xt = Bθ(L)et(θ),
où Aθ(L) = Id − p0
i=1 AiL i est le polynôme VAR et Bθ(L) = Id − q0
i=1 BiL i est
le polynôme MA, avec Ai = A −1
0 Ai et Bi = A −1
0 BiB −1
0 A0. Pour ℓ = 1,...,p0 et
ℓ ′ = 1,...,q0, posons Aℓ = (aij,ℓ), Bℓ ′ = (bij,ℓ ′), aℓ = vec[Aℓ] et bℓ ′ = vec[Bℓ ′].
Notons respectivement par
a := (a ′ 1 ,...,a′ p0 )′
et b := (b ′ 1 ,...,b′ q0 )′ ,
les coefficients des polynômes VAR et MA. Ainsi il n’est pas restrictif de réécrire
θ = (a ′ ,b ′ ) ′ , où a ∈ R k1 dépend des matrices A0,...,Ap0 et où b ∈ R k2 dépend de
B0,...,Bq0, avec k1 +k2 = k0. Pour i,j = 1,··· ,d, définissons les (d ×d) opérateurs
matriciels Mij(L) et Nij(L) par
Mij(L) = B −1 −1
θ (L)EijAθ (L)Bθ(L) and Nij(L) = B −1
θ (L)Eij,