THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

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1.4.3 Contraste de Kullback-Leibler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.4 Critère de sélection des ordres d’un modèle VARMA . . . . . . 40 1.5 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5.1 Stationnarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5.2 Ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.5.3 Accroissement de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.5.4 Mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Références bibliographiques 51 2 Estimating weak structural VARMA models 55 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Model and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3 Quasi-maximum likelihood estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Estimating the asymptotic variance matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5 Testing linear restrictions on the parameter . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 Numerical illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.7 Appendix of technical proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.8 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.9 Appendix of additional example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.9.1 Verification of Assumption A8 on Example 2.1 . . . . . . . . . 78 2.9.2 Details on the proof of Theorem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.9.3 Details on the proof of Theorem 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3 Estimating the asymptotic variance of LSE of weak VARMA models 88 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2 Model and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3 Expression for the derivatives of the VARMA residuals . . . . . . . . . 92 3.4 Explicit expressions for I and J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5 Estimating the asymptotic variance matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.6 Technical proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.8 Verification of expression of I and J on Examples . . . . . . . . . . . . 111 4 Multivariate portmanteau test for weak structural VARMA models 118 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2 Model and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 Least Squares Estimation under non-iid innovations . . . . . . . . . . . 121 4.4 Joint distribution of ˆ θn and the noise empirical autocovariances . . . . 124 4.5 Asymptotic distribution of residual empirical autocovariances and autocorrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 vii
4.6 Limiting distribution of the portmanteau statistics . . . . . . . . . . . . 125 4.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.8 Implementation of the goodness-of-fit portmanteau tests . . . . . . . . 132 4.9 Numerical illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.9.1 Empirical size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.9.2 Empirical power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.10 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5 Model selection of weak VARMA models 152 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.2 Model and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.3 General multivariate linear regression model . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4 Kullback-Leibler discrepancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.5 Criteria for VARMA order selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.5.1 Estimating the discrepancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.5.2 Other decomposition of the discrepancy . . . . . . . . . . . . . . 163 5.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Conclusion générale 168 Perspectives 170 viii
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