THÈSE Estimation, validation et identification des modèles ARMA ...

Chapitre 1. Introduction 46
1.5 Annexe
Pour une lecture indépendante de l’ouvrage, cette annexe regroupe des résultats
élémentaires de stationnarité, ergodicité et mélange. Nous reprenons pour cela l’annexe
du livre de Francq et Zakoïan (2009), en énonçant certains résultats dans un cadre
multivarié.
1.5.1 Stationnarité
La stationnarité joue un rôle majeur en séries temporelles car elle remplace de manière
naturelle l’hypothèse d’observations iid en statistique standard. Garantissant que
l’accroissement de la taille de l’échantillon s’accompagne d’une augmentation du même
ordre de l’information, la stationnarité est à la base d’une théorie asymptotique générale.
On considère la notion de stationnarité forte ou stricte et celle de la stationnarité
faible ou au second ordre. Nous considérons un processus vectoriel (Xt) t∈Z de dimension
d, Xt = (X1 t,...,Xd t) ′ .
Définition 1.6. Le processus vectoriel (Xt) est dit strictement stationnaire si les vecteurs
(X ′ 1,...,X ′ t) ′ et X ′ 1+h ,...,X′ ′
t+h ont la même loi jointe pour tout h ∈ Z et tout
t ∈ Z.
La définition de la stationnarité stricte s’énonce donc de la même manière en univarié
et en multivarié. La stationnarité au second ordre se définit comme suit.
Définition 1.7. Le processus vectoriel (Xt) à valeurs réelles est dit stationnaire au
second ordre si
(i) EX 2 i t
< ∞ ∀ t ∈ Z, i ∈ {1,...,d},
(ii) EXt = m ∀ t ∈ Z,
(iii) Cov(Xt,Xt+h) = E (Xt −m)(Xt+h −m) ′ = Γ(h) ∀ h,t ∈ Z.
La fonction Γ(·), à valeur dans l’espace des matrices d×d est appelée fonction d’autocovariance
de (Xt).
Il est évident que ΓX(h) = Γ ′ X (−h). En particulier ΓX(0) = Var(Xt) est une matrice
symétrique. Cette définition de la stationnarité faible est moins exigeante que
la précédente car elle n’impose de contraintes qu’aux deux premiers moments des variables
(Xt), mais contrairement à la stationnarité stricte, elle requiert l’existence de