LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

iii) Pour tout a ∈ S, il existe un ouvert R n ⊃ V ∋ a, un ouvert R d ⊃ W ∋ (a 1 , · · · , a d ) et une
application g : W −→ R n−d de classe C r telle que, à une permutation près des coordonnées, on
ait
S ∩ V = {(z, g(z)) : z ∈ W }.
iv) Pour tout a ∈ S, il existe des ouverts R n ⊃ V ∋ a, R d ⊃ Ω ∋ 0 et une application p : Ω −→
R n de classe C r telle que
p(0) = a, Dp(0) est injective et p est un homéomorphisme de Ω dans S ∩ V.
Alors, ces quatres propriétés sont équivalentes.
Démonstration. Montrons que i) =⇒ ii) =⇒ iii) =⇒ iv) =⇒ i).
i) =⇒ ii). Définissons h = π◦f : V −→ R n−d avec π(y 1 , · · · , y n ) = (y d+1 , · · · , y n ). L’application
h est de classe C r sur V et Dh(a) = π ◦ Df(a) est surjective car π est surjective et Df(a) est
bijective. Pour x ∈ V , on a h(x) = 0. Réciproquement, si h(x) = 0, on a f(x) ∈ f(V )∩(R d ×{0})
donc f(x) = f(z) avec z ∈ S donc x = z ∈ S car f est injective sur V . On a donc bien
S ∩ V = h −1 (0).
ii) =⇒ iii). Comme Dh(a) est surjective, il existe {i 1 , · · · , i n−d } ⊂ [1, n] tels que
(Dh(a)e i1 , · · · , Dh(a)e in−d )
soient linéairement indépendants. Quitte à permuter les coordonnées, on peut supposer que
(Dh(a)e d+1 , · · · , Dh(a)e n )
sont linéairement indépendants. Écrivant R n = R d × R n−d , on a, pour tout v ∈ R n−d ,
D 2 h(a)(v) = Dh(a)(0, v) =
n∑
j=d+1
v j Dh(a)(e j ),
ce qui montre que D 2 h(a) ∈ L(R n−d , R n−d ) est injective donc bijective. Appliquant le Théorème
des fonctions implicites, il existe des voisinages ouverts A de (a 1 , · · · , a d ) dans R d et V ⊂ U de a
dans R n et une application g : A −→ R n−d de classe C r tels que
h −1 (0) ∩ V = {(z, g(z)) : z ∈ A},
soit
S ∩ V = S ∩ U ∩ V = h −1 (0) ∩ V = {(z, g(z)) : z ∈ A}.
iii) =⇒ iv). Posons Ω = W − â, où â = (a 1 , · · · , a d ), de telle sorte que g(â) = (a d+1 , · · · , a n ), et,
pour tout t ∈ Ω, p(t) = (â + t, g(â + t)) d’où p(0) = (â, g(â)) = a. L’application p est de classe
C r et Dp(0)(u) = (u, Dg(a)(u)) pour tout u ∈ R d ce qui montre que Dp(0) est injective. On a
p(Ω) = S ∩ V.
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