LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

) Il est important d’observer que si f : [a, b] −→ E est une fonction réglée, la fonction
Φ : [a, b] → E définie par
est une primitive de f sur [a, b].
Φ(t) =
∫ t
a
f(s)ds
c) Si f : I −→ E est continue on a, pour toute primitive Φ de f
Φ ′ (t) = f(t) pour tout t ∈ I.
En effet on peut supposer que Φ(t) = ∫ t
t 0
f(s)ds pour un certain t 0 ∈ I. Il en résulte donc que
‖Φ(t + h) − Φ(t) − hf(t)‖ =
≤
∥
∣
∫ t+h
t
∫ t+h
t
(f(s) − f(t))ds∥
∣
‖f(s) − f(t)‖ds∣.
Etant donné ɛ > 0 il existe η > 0 tel que |s − t| ≤ η implique ‖f(s) − f(t)‖ ≤ ɛ. On a donc, pour
|s − t| ≤ η
∫ t+h
‖Φ(t + h) − Φ(t) − hf(t)‖ ≤ ∣ ɛds∣ = ɛ|h|,
d’où le résultat.
Théorème 3.5.4 Soit I ⊂ R un intervalle et g : I −→ E une fonction à valeurs dans un espace
de Banach E qui est primitive d’une fonction réglée. (Cela signifie que g est continue, qu’il existe
une fonction réglée g ′ telle que la dérivée de g en t soit égale à g ′ (t) pour tout t ∈ I \ D où D ⊂ I
est au plus dénombrable). Alors, pour tout t 0 , t ∈ I
Démonstration
Comme g ′ est réglée, la fonction
g(t) = g(t 0 ) +
γ(t) = g(t 0 ) +
∫ t
t
t 0
g ′ (s)ds.
∫ t
t 0
g ′ (s)ds
est une primitive de g ′ sur [a, b]. Comme g est aussi une primitive de g ′ et que g(t 0 ) = γ(t 0 ) on a
g(.) = γ(.) sur I, ce qui achève la démonstration. □
Nous laissons au lecteur le soin d’établir les règles de calcul pour cette intégrale. Nous donnons
cependant le résultat utile suivant qui permet d’établir un lien entre l’intégrale de la limite et la
limite des intégrales.
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