LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

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Soit alors 0 < η ≤ min 1≤i≤n η zi assez petit pour que B(x, η) ⊂ Ω. Pour tout y ∈ B(x, η) et pour tout t ∈ I, il existe i ∈ [1, n] tel que x(t) ∈ B(z i , η zi ). On a ‖y(t) − z i ‖ ≤ ‖y(t) − x(t)‖ + ‖x(t) − z i ‖ ≤ 2η zi , ‖x(t) − z i ‖ ≤ 2η zi , d’où ‖f(y(t) − f(x(t))‖ ≤ ‖f(y(t) − f(z i )‖ + ‖f(z i ) − f(x(t))‖ ≤ ε. On a alors d’où le résultat. ‖N f (y) − N f (x)‖ ∞ = ‖f(y) − f(x)‖ ∞ = sup ‖f(y(t)) − f(x(t))‖ ≤ ε t∈I L’opérateur N f est alors appelé opérateur de Nemicki associé à f. On considère alors un ouvert U ⊂ R × E et f : U −→ F une application continue. On pose A = {x ∈ C(I, E) : (t, x(t)) ∈ U pour tout t ∈ I}. L’ensemble A est ouvert, (éventuellement vide). En effet on a A = L −1 (Ω) où Ω = {u ∈ C(I, R × E) : u(I)) ∈ U} et est définie par L : C(I, E) −→ C(I, R × E) L(x) = (Id R , x). Comme L est continue et Ω ouvert, il en est donc bien de même de A. Introduisons N f : A −→ C(I, F ) définie par N f (x) = (N f ◦ L)(x), à savoir N f (x) = f(·, x(·)). L’application N f est alors continue comme composée de deux applications continues. Etudions alors la différentiabilité de N f . Théorème 3.4.2 Soit f : U −→ F continue telle que D 2 f existe et est continue sur U. Alors l’application N f est de classe C 1 sur A et pour tout x ∈ A, h ∈ C(I, E), t ∈ I, ) (DN f (x)(h) (t) = D 2 f(t, x(t))(h(t)). 57
Démonstration. D’après le Théorème 3.4.1, l’application N D2 f : A −→ C(I, L(E, F )) définie par N D2 f = N D2 f ◦ L est continue. Soit x ∈ A. Pour tout ε > 0, il existe donc η > 0 tel que ‖y − x‖ ∞ ≤ η implique y ∈ A et ‖N D2 f(y) − N D2 f(x)‖ ∞ = sup ‖D 2 f(t, y(t)) − D 2 f(t, x(t))‖ L(E,F ) ≤ ε. t∈I Soit h ∈ C(I, E) tel que ‖h‖ ∞ < η, soit t ∈ I. Posons ϕ t (ξ) = f(t, x(t) + ξ) − f(t, x(t)) − D 2 f(t, x(t))(ξ). Remarquons que ϕ t (ξ) est défini et différentiable sur B(0, η) avec Dϕ t (ξ) = D 2 f(t, x(t) + ξ) − D 2 f(t, x(t)). D’où sup ‖Dϕ t (ξ)‖ ≤ sup ‖D 2 f(t, x(t) + ξ) − D 2 f(t, x(t))‖ ≤ ε. ‖ξ‖
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Page 103: à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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