LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Considérons f : (E, δ) −→ (E, d) définie par f = I E . C’est une application continue bijective
mais f −1 n’est pas continue car si X ⊂ E qui n’est pas ouvert pour (E, d) on a X est ouvert
pour (E, δ) alors que f(X) = X n’est pas ouvert pour (E, d).
b) On remarque qu’un difféomorphisme est un homéomorphisme. Mais la fonction f(x) =
x 3 qui est un homéomorphisme différentiable de R dans R n’est pas un difféomorphisme car
f −1 (y) = y 1/3 n’est pas différentiable en 0.
c) On remarque également que si f : U −→ V est un difféomorphisme alors Df(x) ∈
Isom(E, F ) pour tout x ∈ U. En effet, f et f −1 sont différentiables en x et y = f(x) et on a
f ◦ f −1 = Id V ,
f −1 ◦ f = Id U .
Utilisant le résultat de dérivation d’une composée, on a
et
Df(x) ◦ Df −1 (y) = Id F
Df −1 (y) ◦ Df(x) = Id E ,
ce qui montre que bien que Df(x) est bijective et que Df −1 (y) = (Df(x)) −1 .
Le résultat suivant est une étape vers le résultat principal de cette section à savoir le Théorème du
difféomorphisme local 5.1.2.
Théorème 5.1.1 THÉORÈME D’INVERSION LOCALE Soit f : U −→ F une application différentiable
définie sur un ouvert U d’un espace de Banach et à valeurs dans un espace de Banach
F . On suppose que Df est continue en a ∈ U et que Df(a) ∈ Isom (E, F ). Alors
a) il existe des voisinages ouverts U ′ de a et V ′ de b = f(a) tels que f soit un homéomorphisme
de U ′ dans V ′ .
b) f −1 est Lipschitzienne sur V ′ , différentiable en b et on a Df −1 (b) = (Df(a)) −1 .
Démonstration. Posons ψ = (Df(a)) −1 ∈ Isom (F, E), et r(x) = f(x) − b − Df(a)(x − a).
Observons que pour y ∈ F et x ∈ U,
y = f(x)
⇐⇒ y = b + Df(a)(x − a) + r(x)
⇐⇒ x = a + ψ(y − b − r(x))
⇐⇒ x = F y (x)
où F y (x) = a + ψ(y − b − r(x)). Choisissons η > 0 tel que
‖Dr(x)‖ = ‖Df(x) − Df(a)‖ ≤ 1
2‖ψ‖
sur ¯B(a, η), de telle sorte que r(.) est
1
2‖ψ‖ -Lipschitzien sur ¯B(a, η) ; et soit y ∈ ¯B(b, δ) où δ =
η
2‖ψ‖ . Pour tout x ∈ ¯B(a, η) on a, notant que 0 = r(a)
η
‖F y (x) − a‖ ≤ ‖ψ‖(‖y − b‖ + ‖r(x)‖) ≤ ‖ψ‖(
2‖ψ‖ + 1 ‖x − a‖) ≤ η.
2‖ψ‖
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