LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Comme F ∩ F ⊥ = {0}, on a bien E = F ⊕ F ⊥ . De plus p F (.) est la projection algébrique
sur F parallèlement à F ⊥ , c’est donc une application linéaire. Remarquons alors que, d’après le
Théorème de Pythagore
‖x‖ 2 = ‖x − p F (x)‖ 2 + ‖p F (x)‖ 2 ≥ ‖p F (x)‖ 2 ,
ce qui montre que ‖p F (x)‖ ≤ ‖x‖ pour tout x ∈ E et que p F est continue.
Voici un résultat très utile dans la pratique.
Corollaire 1.6.1
Soit F un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert (H, 〈., .〉). Alors
a) F ⊥⊥ = F .
b) F = H ⇐⇒ F ⊥ = {0}.
Démonstration. a) Observons que F ⊂ F ⊥⊥ et que F ⊥ est un sous-espace vectoriel fermé de
E (F ⊥ = ⋂ x∈F
ker 〈x, .〉 et ker 〈x, .〉 est fermé comme noyau d’une forme linéaire continue
(Remarque 1.6.1, b))). Les sous-espaces vectoriels F et F ⊥ sont donc complets ce qui permet
d’appliquer le Théorème 1.6.3. On a alors
donc F = F ⊥⊥ .
F ⊂ F ⊥⊥
E = F ⊕ F ⊥
E = F ⊥⊥ ⊕ F ⊥
b) Si F = H il est clair que F ⊥ = {0}. Réciproquement si F ⊥ = {0} on a H = F ⊕ {0}
donc F = H.
Définition 1.6.6 On dit qu’une famille de vecteurs (e i ) i∈I est orthogonale si
〈e i , e j 〉 = 0 pour tout i, j ∈ I, i ≠ j.
On dit que la famille orthogonale (e i ) i∈I est orthonormée si
‖e i ‖ = 1 pour tout i ∈ I.
Le résultat suivant dont la démonstration élémentaire est laissée au lecteur est d’une grande importance
pratique.
Proposition 1.6.3 Soit (e 1 , · · · , e n ) une famille orthononormée d’un espace préhilbertien (E, 〈., .〉),
soit n ∈ N ∗ et λ 1 , · · · , λ n ∈ R. Posons x = ∑ n
i=1 λ ie i , alors
et
λ i = 〈x, e i 〉 pour tout i ∈ [1, n],
‖x‖ 2 =
n∑
|λ i | 2 .
i=1
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