LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

on a
∥ ∥∥f(v) − f(
u + v
2
(
) ∥ −
ou bien
∥ ∥∥f( u + v
(
) − f(u) ∥ −
2
Choisissons alors a 1 , b 1 ∈ {a 0 , b 0 } tels que
g(v) − g( u + v
2
g( u + v
2
)
) ≥ η 2 ,
)
) − g(u) ≥ η 2 .
‖f(b 1 ) − f(a 1 )‖ − (g(b 1 ) − g(a 1 )) ≥ η 2 .
On construit alors par récurrence, une suite décroissantes d’intervalles [a n , b n ] tels que b n − a n =
b 0 − a 0
2 n et
‖f(b n ) − f(a n )‖ − (g(b n ) − g(a n )) ≥ η 2 n . (3.1)
Les suites (a n ) n∈N et (b n ) n∈N convergent alors vers une limite commune c ∈ [a 0 , b 0 ] ⊂]a, b[.
Utilisant la dérivabilité de f et g en c, on a
f(a n ) = f(c) + (a n − c)f ′ (c) + (a n − c)ε(a n − c)
f(b n ) = f(c) + (b n − c)f ′ (c) + (b n − c)ε(b n − c)
g(a n ) = g(c) + (a n − c)g ′ (c) + (a n − c)η(a n − c)
(3.2)
g(b n ) = g(c) + (b n − c)g ′ (c) + (b n − c)η(b n − c),
avec lim h→0 ε(h) = 0 et lim h→0 η(h) = 0. Revenant à (3.1), et utilisant l’inégalité triangulaire, il
vient
‖f(b n ) − f(c)‖ + ‖f(c) − f(a n )‖ − (g(b n ) − g(c)) − (g(c) − g(a n )) ≥ η 2 n .
On obtient donc, utilisant (3.2) et le fait que a n ≤ c ≤ b n ,
avec
η
2 n ≤ ‖f ′ (c)‖(b n − c + c − a n ) − g ′ (c)(b n − a n ) + r n
r n = (b n − c)(‖ε(b n − c)‖ + |η(b n − c)|) + (c − a n )(‖ε(a n − c)‖ + |η(a n − c)|).
Divisant par b n − a n , il vient
η
b 0 − a 0
≤ ‖f ′ (c)‖ − g ′ (c) + (b n − a n ) −1 r n .
Il existe δ > 0 tel que, pour tout |h| ≤ δ, on a ‖ε(h)‖ ≤ ε et ‖η(h)‖ ≤ ε. Pour tout n assez grand
pour que b n − a n ≤ δ, on a alors b n − c ≤ b n − a n et c − a n ≤ b n − a n , de telle sorte que
r n ≤ 4(b n − a n )ε,
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