LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

De plus, p étant injective est une bijection de Ω dans p(Ω) = S ∩ V . Enfin la bijection inverse est
définie pour tout x ∈ S ∩ V par (x 1 − a 1 , · · · , x d − a d ) qui est continue, ce qui montre bien que p
est un homéomorphisme de Ω dans S ∩ V .
iv) =⇒ i). D’après le Théorème 5.4.1, il existe un ouvert ˆΩ ⊂ Ω contenant 0, un ouvert Ŵ ∋ a tel
que p(ˆΩ) ⊂ Ŵ et un Cr -difféomorphisme f de Ŵ dans un ouvert f(Ŵ ) tels que
f(p(ˆΩ)) = f(Ŵ ) ∩ (Rd × {0}).
Comme ˆΩ est un ouvert et p un homéomorphisme, on obtient que p(ˆΩ) est un ouvert de S ∩ V .
Il existe donc un ouvert ˆV ∋ a tel que p(ˆΩ) = ˆV ∩ S. Comme p(ˆΩ) ⊂ Ŵ , on peut supposer que
ˆV ⊂ Ŵ . On a alors
f( ˆV ∩ S) = f(p(ˆΩ)) = f(Ŵ ) ∩ (Rd × {0}) ⊃ f( ˆV ) ∩ (R d × {0}),
et f( ˆV ∩ S) ⊂ f( ˆV ) et f( ˆV ∩ S) = f(p(ˆΩ)) ⊂ R d × {0} donc f( ˆV ∩ S) ⊂ f( ˆV ) ∩ (R d × {0}),
d’où
f( ˆV ∩ S) = f( ˆV ) ∩ (R d × {0}).
Remarque 5.4.1 C’est un bon exercice de montrer d’autres implications que celles strictement
nécessaires à la démonstration du théorème précédent.
ii) =⇒ i). D’après le Théorème 5.4.2, il existe un ouvert V ⊃ V ′ ∋ a et un C r -difféomorphisme g
de V ′ dans un ouvert g(V ′ ) de R n tel que π d (g(x)) = f(x) pour tout x ∈ V ′ avec π d (y 1 , · · · , y n ) =
(y d+1 , · · · , y n ) et tel que g(V ′ ∩ S) = g(V ′ ) ∩ (R d × {0}).
iii) =⇒ ii). Considérons l’ouvert ˆV = V ∩(W ×R d ). On vérifie immédiatement que a ∈ ˆV et que
S ∩ ˆV = {(z, g(z)) : z ∈ W }. Introduisons l’application h : ˆV −→ R n−d par h(z, y) = y − g(z).
On vérifie alors que
h −1 (0) = ˆV ∩ S.
De plus pour tout (w, v) ∈ R d × R n−d on a Dh(a)(w, v) = v − Dg(a 1 , · · · , a d )(w) donc
v = Dh(a)(0, v) d’où Dh(a) est surjective, ce qui équivaut à ∇h 1 (a), · · · , ∇h m (a) linéairement
indépendants.
i) =⇒ iv). On peut supposer sans perte de généralité que f(a) = 0. Définissons
π 0 (y 1 , · · · , y n ) = (y 1 , · · · , y d )
et Ω = π 0 (f(V ) ∩ (R d × {0})). L’ensemble Ω est ouvert (vérification facile) et contient 0. Pour
t ∈ Ω, on a (t, 0) ∈ f(V ), on peut donc poser p(t) = f −1 (t, 0). L’application ainsi définie est
de classe C r et, pour tout w ∈ R d , on a Dp(0)(w) = Df −1 (0)(w, 0) = (Df(a)) −1 (w, 0), ce qui
montre que Dp(0) est injective. Par ailleurs t ∈ Ω si et seulement si (t, 0) ∈ f(V ) ∩ (R d × {0})
donc p(Ω) = S ∩ V . Enfin pour tout x ∈ S ∩ V , on a p −1 (x) = π 0 (f(x)) ce qui montre que p −1
est continue, donc p est bien un homéomorphisme de Ω dans S ∩ V .
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