LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Autrement dit
Df(a)(h) = 〈∇f(a), h〉 pour tout h ∈ R n
⎛
∂f
⎞
(a)
∂x
où 〈., .〉 désigne le produit scalaire usuel sur R n 1 et ∇f(a) = ⎜
⎝ . ⎟ est appelé le vecteur
∂f
⎠
(a)
∂x n
gradient de f en a. On montrera dans la suite que si pour tout i = 1, · · · , n la fonction ∂f
∂x i
(.) est
définie au voisinage de a et continue en a alors f est différentiable en a et que sa différentiellle en
a est définie par
Df(a)(h) = 〈∇f(a), h〉.
e) Plus généralement, si U ⊂ R n est un ouvert et si l’application
Df(a)(h) = lim
t→0
f(a + th) − f(a)
t
f = (f 1 , · · · , f m ) : U −→ R m
est différentiable en a. On montrera un peu plus loin que f 1 , · · · , f m sont alors différentiables en
a. On a alors d’après (2.1), pour tout h ∈ R n ,
(
= lim
donc
f 1 (a + th) − f(a)
t→0 t
Df(a)(h) = (〈∇f 1 (a), h〉, · · · , 〈∇f m (a), h〉),
f m (a + th) − f(a)
)
, · · · , lim
,
t→0 t
autrement dit
Df(a)(h) = J f (a)h
⎛ ⎞
∇f 1 (a) T
où J f (a) est la matrice à m lignes et n colonnes dont les lignes sont ⎝
.
⎠, autrement dit
∇f m (a) T
[J f (a)] ij = ∂f i
∂x j
(a) pour tout (i, j) ∈ [1, m] × [1, n].
On dit que J f (a) est la matrice Jacobienne de f en a. On montrera que si les dérivées partielles
( ∂fi
)
(.)
existent au voisinage de a et sont continues en a on montrera alors que f
∂x j (i,j)∈[1,m]×[1,n]
est différentiable en a et que Df(a) est donné, pour tout vecteur h ∈ R m par
Df(a)(h) = J f (a)h.
La notion de vecteur gradient s’étend au cadre des espaces de Hilbert
Définition 2.1.3 Soit U un ouvert d’un espace de Hilbert E et soit f : E −→ R une application
différentiable en a. On a Df(a) ∈ E ∗ , on désigne alors par ∇f(a) ∈ E l’unique vecteur fourni
par le Théorème de Riesz, tel que
Df(a)(h) = 〈∇f(a), h〉 pour tout h ∈ E.
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