LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Le résultat suivant est une version globale du Théorème 5.1.1.
Théorème 5.1.3 Soit f : U −→ F une application définie sur un ouvert U d’un espace de Banach
E et à valeurs dans un espace de Banach F . On suppose que f est de classe C r . Alors, pour que
f soit un C r difféomorphisme de U dans f(U) qui est alors ouvert, il faut et il suffit que f soit
injective et que Df(x) ∈ Isom (E, F ) pour tout x ∈ U.
Démonstration. Supposons que f est un C r difféomorphisme d’un ouvert U de E dans un ensemble
V = f(U) de F . Il résulte de la Remarque 5.1.1, b) que Df(x) ∈ Isom (E, F ) pour tout
x ∈ U. Montrons alors que V = f(U) est ouvert. Soit b = f(a) ∈ V avec a ∈ U. Il existe d’après
le Théorème 5.1.1 des voisinage ouverts U ′ ⊂ U de a et V ′ de b tel que f soit un homéomorphisme
de U ′ dans V ′ . On a alors V ′ ⊂ f(U) = V .
Réciproquement Soit f : U −→ F une application injective de classe C r telle que Df(x) ∈
Isom (E, F ) pour tout x ∈ U. Observons que f est bijective de U dans f(U). Par ailleurs f(U)
est ouvert et f −1 est continue sur f(U). En effet, si on considère y = f(x) ∈ f(U) avec x ∈ U,
il existe d’après le Théorème 5.1.1 des voisinages ouverts U ′ de x et V ′ de y tels que f soit un
homéomorphisme de U ′ dans V ′ , ce qui implique que V ′ ⊂ f(U) et que f −1 est continue en y.
L’application f est donc un homéomorphisme de U dans l’ouvert V = f(U). De plus, comme
Df(x) ∈ Isom (E, F ), on peut appliquer le Théorème 5.1.2 qui nous assure que f −1 est r fois
continuement différentiable au voisinage de y. Ce qui montre que f est un C r difféomorphisme de
U dans l’ouvert f(U), d’où le résultat.
Remarque 5.1.3 Il résulte du théorème précedent que si U ⊂ E et V ⊂ F sont des ouverts et si
f : U −→ V est un C r difféomorphisme, alors pour tout ouvert Ũ ⊂ U, on a Ṽ = f(Ũ) est ouvert
et f est un C r difféomorphisme de Ũ dans Ṽ .
5.2 Théorème des Fonctions Implicites
Théorème 5.2.1 Soient E, F , G des espaces de Banach, U ⊂ E × F un ouvert et f : U −→ G
une application de classe C r . Soit (a, b) ∈ U tel que f(a, b) = 0 et tel que la différentielle partielle
D 2 f(a, b) ∈ Isom (F, G). Alors,
a) il existe des voisinages ouverts V de (a, b), A de a, il existe une application
telle que, pour tout x ∈ A
ϕ : A −→ F
f(x, ϕ(x)) = 0.
b) (x, y) ∈ V et f(x, y) = 0 ⇐⇒ x ∈ A et y = ϕ(x), autrement dit
où S = {(x, y) ∈ U : f(x, y) = 0}.
c) ϕ(.) est de classe C r sur A et
S ∩ V = {(x, ϕ(x)) : x ∈ A},
Dϕ(x) = −(D 2 f(x, ϕ(x))) −1 ◦ D 1 f(x, ϕ(x)).
93