LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Démonstration
i) =⇒ ii). Pour tout n ∈ N ∗ et pour tout t ∈ I il existe, par application du critère de Cauchy à
droite et à gauche en t, un intervalle ouvert I(t) =]a(t), b(t)[ contenant t tel que
‖f(s) − f(s ′ )‖ ≤ 1/n
pour tout s, s ′ ∈ I∩]t, b(t)[ ou s, s ′ ∈ I∩]a(t), t)[. Par compacité il existe m ∈ N ∗ et t 1 , . . . , t m ∈ I
tels que I ⊂ ⋃ m
i=1 I(t i). Soit alors c 0 < c 1 < · · · < c k la suite telle que
{c 0 , . . . , c k } = {a, b, t i , a(t i ), b(t i ) : 1 ≤ i ≤ m} ∩ I.
Chaque c j appartient à un intervalle I(t i ). Si c j ∈]a(t i ), t i [ alors c j < c j+1 ≤ t i . Si c j ∈ [t i , b(t i )[,
alors c j < c j+1 ≤ b(t i ). Dans tous les cas on a |f(s) − f(s ′ )| ≤ 1/n sur ]c j , c j+1 [∩I. Soit alors la
fonction f n définie par
f n (c j ) = f(c j ) si c j ∈ I,
f n (t) = f(τ j ) si t ∈]c j , c j+1 [∩I où τ j ∈]c j , c j+1 [∩I.
On a alors ‖f n − f‖ ∞ ≤ 1/n, d’où le résultat.
ii) =⇒ i). Soit t ∈ I. Pour tout ɛ > 0 il existe n ∈ N tel que ‖f n − f‖ ∞ ≤ ɛ/3. La fonction f n
étant en escalier, il existe η > 0 tel que f n prend des valeurs constantes sur chacun des intervalles
]t, t + η[∩I et ]t − η, t[∩I. Pour tout s, s ′ ∈]t, t + η[∩I ou s, s ′ ∈]t − η, t[∩I, on a
‖f(s ′ ) − f(s)‖ ≤ ‖f(s ′ ) − f n (s ′ )‖ + ‖f n (s ′ ) − f n (s)‖ + ‖f n (s ′ ) − f(s)‖ ≤ ɛ.
Le critère de Cauchy est alors vérifié à droite et à gauche en t. Il en résulte bien l’existence de
limites à droite et à gauche en t, l’espace E étant supposé complet. □
Définition 3.5.2 Soit I ⊂ R un intervalle et f : I −→ E une fonction à valeurs dans un espace
de Banach E. On dit que la fonction continue Φ : I −→ E est une primitive de f dans I s’il existe
une partie au plus dénombrable D ⊂ I telle que Φ soit dérivable sur I \ D et telle que Φ ′ = f
sur I \ D.
Proposition 3.5.1 Soit I ⊂ R un intervalle et f : I −→ E une fonction à valeurs dans un espace
de Banach E. Alors si Φ 1 et Φ 2 sont deux primitives de f sur I, Φ 1 − Φ 2 est constante sur I.
Démonstration
D’après la définition des primitives, il existe deux parties au plus dénombrables D 1 et D 2 de
I telles que (Φ 1 − Φ 2 ) ′ = 0 sur I \ (D 1 ∪ D 2 ). Écrivons I comme réunion d’une suite croissante
d’intervalles compacts I n . D’après le Corollaire 3.1.1 la fonction Φ 1 −Φ 2 est constante sur chaque
I n donc sur I, (détaillez le raisonnement en exercice). □
Lemme 3.5.1 Soit I un intervalle compact de R et soit f : I −→ E une fonction en escalier,
alors f admet une primitive sur I.
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