LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

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Corollaire 1.4.1 i) R d est un espace de Banach pour toute norme. ii) Toute application linéaire de R d dans un espace normé (F, ‖ · ‖) est continue. Démonstration. i) Résulte du fait qu’un espace de Banach l’est encore quand on remplace sa norme par une norme équivalente, du Théorème 1.4.2 et du fait que R d est complet muni de l’une de ses normes usuelles (voir Exemple 1.2.1 a)). ii) Exercice facile. Remarque 1.4.1 a) Soit (E, ‖ · ‖) un espace vectoriel de dimension d rapporté à une base (u 1 , · · · , u d ). L’application d∑ ϕ(x 1 , · · · , x d ) = x i u i est bijective linéaire et continue (le démontrer) de R d dans E. La bijection réciproque ϕ −1 est aussi continue. En effet la fonction ‖ϕ(.)‖ qui est une norme sur R d est équivalente à la norme ‖ · ‖ ∞ . Il existe donc c > 0 tel que ‖ · ‖ ∞ ≤ c‖ϕ(.)‖, ce qui implique bien la continuité de ϕ −1 . Ainsi E est isomorphe à R d et le Théorème 1.4.2 ainsi que le Corollaire 1.4.1 sont vrais en remplaçant R d par un espace vectoriel E de dimension finie d. b) On peut montrer que la boule unité d’un espace normé de dimension infinie n’est jamais compacte (Théorème de F. Riesz). 1.5 Applications multilinéaires continues Définition 1.5.1 Soient E 1 , · · · , E n , F des espaces vectoriels, on dit qu’une application i=1 f : E 1 × · · · × E n −→ F est multilinéaire si, pour tout i ∈ [1, n], et pour tout a = (a 1 , · · · , a n ) ∈ E 1 × · · · × E n , les applications f i : E i → F définies par sont linéaires. f i (x) = f(a 1 , · · · , a i−1 , x, a i+1 , · · · , a n ) Théorème 1.5.1 Soient E 1 , · · · E n , F des espaces normés et soit une application multilinéaire f : E 1 × · · · × E n −→ F . On munit l’espace vectoriel E 1 × · · · × E n d’une norme définissant la topologie produit (par exemple l’une des normes équivalentes de la Définition 1.1.2). Alors, les deux propriétés suivantes sont équivalentes. i) f est continue sur E 1 × · · · × E n , ii) il existe M ≥ 0 telle que, pour tout x ∈ E 1 × · · · × E n , on a ‖f(x)‖ ≤ M‖x 1 ‖ · · · ‖x n ‖. 15
Démonstration. i) ⇒ ii). Comme f est continue en 0 et f(0) = 0, Il existe η > 0 tel que, ‖x‖ = sup ‖x i ‖ ≤ η ⇒ ‖f(x)‖ ≤ 1. 1≤i≤n Soit alors x ∈ (E 1 \{0}) × · · · × (E n \{0}). Posons y = η(x 1 /‖x 1 ‖, · · · ., x n /‖x n ‖), on a ‖y‖ ≤ η. Il en résulte ‖f(y)‖ ≤ 1, et donc ‖f(x)‖ ≤ (1/η n )‖x 1 ‖ · · · .‖x n ‖. Enfin, si l’un des x i est nul l’inégalité ci-dessus est vérifiée avec 0 des deux côtés de l’inégalité. ii) ⇒ i). On procède par récurrence sur n. Soient x, h ∈ E 1 × · · · × E n . On a ‖f(x + h) − f(x)‖ ≤ ‖f(x + h) − f(x + k)‖ + ‖f(x + k) − f(x)‖ où k = (0, h 2 , · · · , h n ). On a alors ‖f(x + h) − f(x + k)‖ ≤ M‖h 1 ‖(‖x 2 ‖ + ‖h 2 ‖) · · · (‖x n ‖ + ‖h n ‖) ≤ C‖h 1 ‖ dès que ‖h‖ ≤ 1. Par ailleurs l’application g : E 2 × · · · × E n −→ F définie par est telle que g ∈ L(E 2 × · · · × E n , F ) et vérifie g(z 2 , · · · , z n ) = f(x 1 , z 2 , · · · , z n ) ‖g(z 2 , · · · , z n )‖ ≤ M ′ ‖z 2 ‖ · · · ‖z n ‖ avec M ′ = M‖x 1 ‖. De plus ‖f(x + k) − f(x)‖ = ‖g(x 2 + h 2 , · · · , x n + h n ) − g(x 2 , · · · , x n )‖. On applique alors l’hypothèse de récurrence et on obtient l’existence de η > 0 tel que ‖g(x 2 + h 2 , · · · , x n + h n ) − g(x 2 , · · · , x n )‖ ≤ ε/2 pourvu que sup 2≤i≤n ‖h i ‖ ≤ η. Il en résulte que pour sup 1≤i≤n ‖h i ‖ ≤ max(η, ε/2C), on a ‖f(x + h) − f(x)‖ ≤ C‖h 1 ‖ + ε/2 ≤ ε, ce qui démontre i). On note L(E 1 , · · · , E n ; F ) l’ensemble des applications multilinéaires continues de E 1 × · · · × E n dans F . Si E 1 = · · · = E n = E, on note L(E 1 , · · · , E n ; F ) = L n (E; F ). Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que pour tout choix d’une norme sur E 1 × · · · × E n ‖f‖ = sup ‖f(x)‖ ‖x‖≤1 16
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Démonstration. a) On a ϕ = (e ◦
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Considérons f : (E, δ) −→ (E,
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Comme r(.) est Lipschitzienne de ra
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Démonstration. Comme Isom (F, G) e
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avec Dϕ(0) = −(D 2 h(0, 0)) −1
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De plus, si f(a) = 0, on a g(U ′
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De plus, p étant injective est une
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à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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