LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

⎛ ⎞
∇f 1 (a) T
oú J f (a) = ⎝
.
⎠ est la matrice m × n définie par [J f (a)] ij = ∂f i
(a), soit
∂x j
∇f m (a) T
⎛
J f (a) = ⎜
⎝
∂f 1
∂x 1
(a) · · ·
. · · ·
∂f m
(a) · · ·
∂x 1
∂f
⎞
1
(a)
∂x n . ⎟
∂f
⎠ .
m
(a)
∂x n
Démonstration. La première partie de la conclusion découle du Théorème 2.3.1. Utilisant ce
même Théorème, il vient
Df(a)(h) = (Df 1 (a)(h), · · · , Df m (a)(h)).
Par ailleurs, pour i ∈ [1, m], on a ∂f i
∂x j
(a) = Df i (a)(e j ) où e j est le j eme vecteur de la base
canonique de R n de telle sorte que
Df i (a)(h) =
n∑
h j Df i (a)(e j ) =
j=1
n∑
j=1
h j
∂f i
∂x j
(a) = 〈∇f i (a), h〉.
On a donc bien
⎛
⎞
〈∇f 1 (a), h〉
Df(a)(h) = ⎝
.
⎠ = J f (a)h.
〈∇f m (a), h〉
2.4 Applications définies sur un produit d’espaces
Nous aurons besoin dans cette section de la Proposition 2.4.2 que nous démontrerons au chapitre
suivant. Nous en donnons ici une autre démonstration basée sur la proposition suivante dont
la démonstration fait appel au Théorème de Hahn-Banach.
Proposition 2.4.1 Soit (E, ‖.‖) un espace normé. Alors pour tout x ∈ E on a
‖x‖ = sup{|l(x)| : l ∈ E ∗ , ‖l‖ ≤ 1}.
Proposition 2.4.2 Soit f : U ⊂ E −→ F une application différentiable définie sur un ouvert
convexe d’un espace normé à valeurs dans un espace normé. On suppose qu’il existe M ∈ R + tel
que
sup ‖Df(x)‖ ≤ M.
x∈U
Alors pour tout x, z ∈ U
‖f(z) − f(x)‖ ≤ M‖z − x‖.
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