LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

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Démonstration. On a Df = ∑ n i=1 T i ◦ D i f (voir la démonstration du Corollaire 4.2.3) et D i f est différentiable en tout x ∈ U car les différentielles partielles D j D i f existent et sont continues en a. Il résulte donc du Théorème 2.4.1 que Df est différentiable en a et donc que f est deux fois différentiable en a. La formule donnant D 2 f(a) a été démontrée dans le Corollaire 4.2.3. Remarque 4.2.1 Examinons le cas particulier E 1 = E 2 = · · · = E n = R, et F = R. Supposons que f est deux fois différentiable en a. On a ∂f ∂x i (x) = Df(x)(e i ) = ψ i (Df(x)), où ψ i : L(R n , R) −→ R est l’application linéaire définie par ψ i (A) = A(e i ). On a donc ∂f = ∂x i ψ i ◦ Df, ce qui montre que ∂f est différentiable en a, donc les dérivées partielles secondes ∂x i ∂ 2 f (a) existent pour tout i, j ∈ [1, n]. Posant alors ∂x j ∂x i g(x) = Df(x)(u) = n∑ i=1 ∂f ∂x i (a)u i . On a alors D 2 f(a)(u, v) = Dg(a)(v) = n∑ i=1 n∑ j=1 ∂ 2 f ∂x j ∂x i (a)u i v j = 〈H f (a), u〉, où H f (a) est alors la matrice Hessienne de f en a définie par Remarquons que Remarquons aussi que donc (H f (a)) ij = ∂2 f ∂x j ∂x i (a). ∂ 2 f ∂x j ∂x i (a) = D 2 f(a)(e i , e j ) = D 2 f(a)(e j , e i ) = ∂ 2 f D i D j f(a)(s, t) = st (a), ∂x j ∂x i ∂2 f ∂x i ∂x j (a). ‖D i D j f(b) − D i D j f(a)‖ L 2 (R;R) = ∥ ∂2 f (b) − ∂2 f ∥ (a) ∥. ∂x j ∂x i ∂x j ∂x i ∂ 2 f Il en résulte que si les dérivées partielles secondes existent et sont continues en a alors les ∂x j ∂x i différentielles partielles secondes existent au voisinage de a et sont continues en a. Le Théorème 79
4.2.6 nous permet alors d’affirmer que f est deux fois différentiables en a et que l’on a alors en particulier ∂ 2 f (a) = ∂2 f (a). ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j Dans le cas où l’application f est définie sur un ouvert U de E 1 × · · · × E n , pour toute suite finie {i 1 , · · · , i p } ⊂ [1, n], on introduit par récurrence les différentielles partielles d’ordre p D i1 D i2 · · · D ip f(a) ∈ L p (E i1 × · · · × E ip , F ). On montre alors facilement par récurrence que si f est p fois différentiable en a on a pour tout (u 1 , · · · u p ) ∈ (E 1 × · · · × E n ) p D p f(a)(u 1 , · · · , u p ) = 4.3 Formules de Taylor ∑ {i 1 ,···,i p}⊂[1,n] Commençons par démontrer le résultat suivant D i1 D i2 · · · D ip f(a)(u i1 , · · · , u ip ). Proposition 4.3.1 Soient I un intervalle ouvert, E, F , G des espaces normés, f : I −→ E, g : I −→ F deux fonctions p + 1 fois dérivables et soit [., .] : E × F −→ G une application bilinéaire continue. Alors ( ∑ p ′. [f, g (p+1) ] − (−1) p+1 [f (p+1) , g] = (−1) i [f (i) , g ]) (p−i) Démonstration. Par récurrence sur p. Pour p = 0 la formule se réduit à i=0 [f, g ′ ] + [f ′ , g] = ([f, g]) ′ qui est une conséquence de la formule donnant la différentielle d’une application bilinéaire et la dérivée d’une composée. Supposons le résultat vrai à l’ordre p − 1. On a ( ∑ p ) ′ ( ∑ p−1 (−1) i [f (i) , g (p−i) ] = (−1) i [f (i) , h (p−1−i) ] + (−1) p [f p , g] i=0 avec h = g ′ . Appliquant l’hypothèse de récurrence, il vient i=0 ( ∑ p ′ (−1) i [f (i) , g ]) (p−i) = [f, h (p) ] − (−1) p [f (p) , h]+ i=0 ) ′ (−1) p [f (p+1) , g] + (−1) p [f (p) , h] 80
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5.4.3 Sous-espace tangent . . . . .
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Remarque 1.1.1 et a) Pour tout x, y
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où ( ∑ ∞ ) 1/p ‖x‖ p = |x
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1.3 Applications linéaires continu
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Remarque 1.3.2 a) Pour montrer qu
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d’où lim f n(x) = ‖x‖ϕ(x/
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1.4 Normes équivalentes Définitio
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Démonstration. i) ⇒ ii). Comme f
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et ‖g‖ L m (E;L n (E;F )) = ‖
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) Soit (E, 〈., .〉) un espace pr
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Soit y ∈ C et t ∈ [0, 1], on a
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Comme F ∩ F ⊥ = {0}, on a bien
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Définition 1.6.7 Soit (e n ) n∈N
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